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《（江苏专用）2020版高考数学总复习第二节不等式的证明和几个重要不等式的应用课件苏教版选修4_5.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节不等式的证明和几个重要不等式的应用1.不等式证明的常用方法2.不等式证明的其他方法和技巧3.柯西不等式教材研读考点一比较法证明不等式考点二综合法、分析法证明不等式考点突破考点三均值不等式的应用考点四柯西不等式的应用1.不等式证明的常用方法(1)比较法:比较法是证明不等式的一种最基本的方法,比较法有差值法、比值法两种形式,但比值法必须考虑正负.比较法证明不等式的步骤:作差(商)、变形、判断符号(与1的大小关系).其中变形的主要方法有分解因式、配方,判断过程必须详细叙述.教材研读(2)综合法:综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断
2、用必要条件替换前面的条件,直到推出要证明的结论,即“①由因导果”,在使用综合法证明不等式时,常常用到基本不等式.(3)分析法:分析法就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的条件,直到推出显然成立的结论,即“②执果索因”.2.不等式证明的其他方法和技巧(1)反证法从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定结论是正确的证明方法.(2)放缩法欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B,利用传递性达到证明的目的.3.柯西不等式若a、b、c、d均为实数,则③(a2+b2
3、)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时取等号.柯西不等式的一般形式:设a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn为实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.1.(2019江苏镇江高三模拟)已知a>0,b>0,求证:(a2+b2+ab)·(ab2+a2b+1)≥9a2b2.证明因为a>0,b>0,所以a2+b2+ab≥3=3ab>0,ab2+a2b+1≥3=3ab>0.所以(a2+b2+ab)(a
4、b2+a2b+1)≥9a2b2,当且仅当a=b=1时等号成立.2.(2017江苏常州教育学会高三检测)已知x>0,y>0,且2x+y=6,求4x2+y2的最小值.解析根据柯西不等式得,[(2x)2+y2](12+12)≥(2x+y)2,化简得4x2+y2≥18,当且仅当2x=y=3,即x=,y=3时取等号.所以当x=,y=3时,4x2+y2取得最小值18.3.(2018年江苏高考信息预测)已知x,y,z均为正实数,且x+y+z=1,求证:++≥1.证明因为x>0,y>0,所以+x≥2=2y,当且仅当x=y时等号成立.同理可得+y≥2z,当且仅当y=
5、z时等号成立;+z≥2x,当且仅当x=z时等号成立.所以++≥2+2+2,当且仅当x=y=z时等号成立.所以++≥x+y+z.又因为x+y+z=1,所以++≥1,当且仅当x=y=z=时等号成立.考点一比较法证明不等式典例1(2019江苏扬州中学高三模拟)设a,b,c,d都是正数,且x=,y=.求证:xy≥.证明∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)-(a2c2+2abcd+b2d2)=(ad-bc)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.又a,b,c,d都是正数,考点突破∴·≥
6、ac+bd>0.同理·≥ad+bc>0.∵x=,y=,∴xy≥.方法技巧比较法证明不等式最常用的是作差法,其基本步骤如下:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断正负.1-1(2017江苏南京、盐城、连云港高三模拟)设a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).证明a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4.因为a≠b,所以(a-b)4>0.所以a4+6
7、a2b2+b4>4ab(a2+b2).考点二综合法、分析法证明不等式典例2(2018江苏淮安第二次月考)已知a,b∈R,a>b>e(其中e是自然对数的底数),求证:ba>ab.证明因为a>b>e,所以ba>0,ab>0,所以要证ba>ab,只要证alnb>blna,即证>.令f(x)=,因为f'(x)=,所以当x>e时,f'(x)<0.所以函数f(x)在(e,+∞)上单调递减.所以当a>b>e时,有f(b)>f(a),即>.所以ba>ab.典例3已知x,y,z均为正数.求证:++≥++.证明∵x,y,z都是正数,∴+=≥,当且仅当x=y时等号成立.
8、同理可得+≥,当且仅当y=z时等号成立,+≥,当且仅当x=z时等号成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得++≥+
