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《（江苏专用）2020版高考数学总复习第二节不等式的证明和几个重要不等式的应用课时作业苏教版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节 不等式的证明和几个重要不等式的应用课时作业练1.(2018江苏南通高三第一次调研)已知a>1,b>1,求b2a-1+a2b-1的最小值.解析 因为a>1,b>1,所以b2a-1+4(a-1)≥4b,a2b-1+4(b-1)≥4a.两式相加得b2a-1+4(a-1)+a2b-1+4(b-1)≥4b+4a,所以b2a-1+a2b-1≥8.当且仅当b2a-1=4(a-1)且a2b-1=4(b-1),即a=b=2时“=”成立.所以b2a-1+a2b-1的最小值为8.2.(2019江苏盐城高三模拟)已知正数x,y,z满足x+2y+3z=2,求x2+
2、y2+z2的最小值.解析 根据柯西不等式,有(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2),因为x+2y+3z=2,所以x2+y2+z2≥412+22+32=27,当且仅当x1=y2=z3,即x=17,y=27,z=37时等号成立.所以x2+y2+z2的最小值为27.3.(2018江苏常州教育学会学业水平检测)已知a>0,b>0,求证:a3+b3a2+b2≥ab.证明 因为a>0,b>0,不妨设a≥b>0,则a52≥b52,a12≥b12,又a52a12+b52b12≥a52b12+b52a12,所以a52a12+b52b12a2
3、+b2≥a52b12+b52a12a2+b2,即a3+b3a2+b2≥ab.4.(2018苏北四市高三第一次调研)已知a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1,求证:a21+a+b21+b+c21+c+d21+d≥15.证明 [(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·a21+a+b21+b+c21+c+d21+d≥1+a·a1+a+1+b·b1+b+1+c·c1+c+1+d·d1+d2=(a+b+c+d)2=1,当且仅当1+aa1+a=1+bb1+b=1+cc1+c=1+dd1+d,即a=b=c=d=14时取等号.∵(1+a)+(
4、1+b)+(1+c)+(1+d)=5,∴a21+a+b21+b+c21+c+d21+d≥15.5.(2018江苏三校高三联考)已知x,y,z∈R,且x+2y+3z+8=0.求证:(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14.证明 因为x+2y+3z+8=0,所以,[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](12+22+32)≥[(x-1)+2(y+2)+3(z-3)]2=(x+2y+3z-6)2=142,当且仅当x-11=y+22=z-33,即x=z=0,y=-4时取等号.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14.6.(2018江苏
5、丹阳高级中学高三上学期期中)已知正数x,y,z满足x+y+z=4,求x24+y29+z2的最小值.解析 由柯西不等式得,x24+y29+z2(4+9+1)≥x2×2+y3×3+z×12=(x+y+z)2=16,当且仅当x22=y33=z1,即x=87,y=187,z=27时取“=”.所以x24+y29+z2的最小值为87.7.(2019江苏南京师大附中高三模拟)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:12a+1+42b+1≥94.证明 因为a>0,b>0,a+b=1,所以12a+1+42b+1[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+2b+12a+1
6、+4(2a+1)2b+1≥5+22b+12a+1×4(2a+1)2b+1=9,当且仅当a=16,b=56时等号成立.又(2a+1)+(2b+1)=4,所以12a+1+42b+1≥94.
