2019版高考数学总复习鸭部分不等式选讲62不等式的证明课时作业文.doc

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1、课时作业62　不等式的证明1．(2018·云南大理一模)已知函数f(x)＝

2、x

3、＋

4、x－3

5、.(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y

6、y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小解析：(1)f(x)＝

7、x

8、＋

9、x－3

10、＝f(x)－5≥x，即或或解得x≤－或x∈∅或x≥8，所以不等式的解集为∪[8，＋∞)．(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)且m≥3，n≥3，所以m－2>0,2－n<

11、0，即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)4ab(a2＋b2)．证明：因为a4＋6a2b2＋b2－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.又a≠b，所以(a－b)4>0，所以a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．3．(2018·武汉调研)(1)求不等式

12、x－5

13、－

14、2x＋3

15、≥1的解集；(2)若正实数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤1.

16、解析：(1)当x≤－时，－x＋5＋2x＋3≥1，解得x≥－7，∴－7≤x≤－；当－

17、x－a

18、(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．解析：(1)证明：由a>0，有

19、f(x)＝＋

20、x－a

21、≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋

22、3－a

23、.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3

24、x－1

25、＋

26、x－5

27、，g(x)＝.(1)求f(x)的最小值；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m.解析：(1)∵f(x)＝

28、x－1

29、＋

30、x－5

31、，∴f(x)＝

32、x－1

33、＋

34、

35、x－5

36、＝，∴f(x)min＝4.(2)证明：由(1)知m＝4.由柯西不等式得[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，又g(x)＝>0，a2＋b2＝6，∴g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝时取等号)．即g(a)＋g(b)≤m.[能力挑战]6．(2018·武汉市武昌调研考试)设函数f(x)＝

37、x－2

38、＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.(1)求M；(2)求x∈M时，证明：x[f(x)]2－x2f(x)≤

39、0.解析：(1)由已知，得f(x)＝.当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤，显然不成立．故f(x)≤－1的解集为M＝{x

40、x≤0}．(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－2＋.令g(x)＝－2＋，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.