高考数学不等式的证明及应用复习

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1、柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy）不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数=恒成立即当且仅当即时等号成立证明2：数学归纳法（1）当时左式=右式=显然左式=右式当时，右式右式仅当即即时等号成立故时不等式成立（2）假设时，不等式成立即当，k为常数，或时等号成立设则当，k为常数，或时等号成立即时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立【应用】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：1）证明相关命题例1．用柯西不等式推导点到直线的距

2、离公式。已知点及直线设点p是直线上的任意一点，则（1）（2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得：即（3）当且仅当（3）式取等号即点到直线的距离公式即1）证明不等式例2：已知正数满足证明证明：利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故1）解三角形的相关问题例3设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。2）求最值例4：已知实数满足，试求的最值解：由柯西不等式得，有即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程解：由柯西不等式，得①又即

3、不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得6）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，，则，，由柯西不等式有，当时，此时，，为常数。点均在直线上，当时，即而为常数。此时，此时，，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。【柯西不等式的应用】　　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经

4、常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。　　巧拆常数证不等式例：设a、b、c为正数且互不相等。　　求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)∵a、b、c均为正数　　∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)　　又9=(1+1+1)^2　　∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9　　又a、b、c互

5、不相等，故等号成立条件无法满足　　∴原不等式成立　　求某些函数最值例：求函数y=3√(x－5)＋4√(9－x)的最大值。　　注：“√”表示平方根。　　　　函数的定义域为[5,9]，y＞0　　y=3√(x－5)＋4√(9－x)　　≤√(3^2＋4^2)×√{[√(x－5)]^2＋[√(9－x)]^2}　　＝5×2＝10　　函数在且仅在4√(x－5)＝3√(9－x)，即x＝6.44时取到。k/s/5/u高考资源网(www.ks5u.com)www.ks5u.com来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)版权所有：高考资源

6、网(www.ks5u.com)韩卓艳