高考数学复习资料不等式的证明策略

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1、GeneratedbyUnregisteredBatchDOCTOPDFConverter2012.4.319.1599,pleaseregister!百度搜索李萧萧文档难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.1125求证：(a+)(b+)≥.ab4●案例探究111*［例1］证明不等式1+++L+<

2、2n(n∈N)23n命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n等于1时，不等式

3、左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；111(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+++L+＜2k，23k1111则1+++L+<2k+23k+1k+12k(k+1)+1k+(k+1)+1=<=2k+1,k+1k+1∴当n=k+1时，不等式成立.*111综合(1)、(2)得：当n∈N时，都有1+++L+＜2n.23n另从k到k+1时的证明还有下列证法：Q2(k+1)-1-2k(k+1)=k-2k(k+1)+(k+1)2=(k-k+1)>0,2k(k+1)+1<2(k+1),1Qk+1>0,2k+<2k+1.k+1221又如:Q2k

4、+1-2k=>=,k+1+kk+1+k+1k+1百度搜索李萧萧文档GeneratedbyUnregisteredBatchDOCTOPDFConverter2012.4.319.1599,pleaseregister!百度搜索李萧萧文档12k+<2k+1.k+1*证法二：对任意k∈N，都有：122=<=2(k-k-1),kk+kk+k-1111因此1+++L+<2+2(2-1)+2(3-2)+L+2(n-n-1)=2n.23n111证法三：设f(n)=2n-(1+++L+),23n*那么对任意k∈N,都有：1f(k+1)-f(k)=2(k+1

5、-k)-k+11=[2(k+1)-2k(k+1)-1]k+121(k+1-k)=×[(k+1)-2k(k+1)+k]=>0k+1k+1∴f(k+1)＞f(k)*因此，对任意n∈N都有f(n)＞f(n－1)＞⋯＞f(1)=1＞0，111∴1+++L+<2n.23n［例2］求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想

6、是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与pcosθ、sinθ来对应进行换元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜)，这样也得a≥sin2θ+cosθ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max；若a≤f(x)，则amax=f(

7、x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：22x+y+2xy≤a(x+y)，即2xy≤(a－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，②百度搜索李萧萧文档GeneratedbyUnregisteredBatchDOCTOPDFConverter2012.4.319.1599,pleaseregister!百度搜索李萧萧文档当且仅当x=y时，②中有等号成立.2比较①、②得a的最小值满足a－1=1，2

8、∴a=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.2x+y(x+y)x+y+2xy2xy解法二：设u====1+.x+yx+yx+yx+y∵x＞0，y＞