高考数学——不等式的证明策略

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1、不等式的证明策略11251.EZ知a>0,b>0,H6f+/?=l.求证：(a—)(b—)$—.ab42.证明不等式1+_L+丄+•・•+y/2V33.求使J7+J7WaQx+y(x>0,)>0)恒成立的a的最小值.一、填空题1.己知X、)‘，是正变数,a、b是正常数，且-+-=1,兀+y的最小值为兀y2.设正数a、b、c、d满足a+d=b+cf且la—dIVIb—cl，则加与be的大小关系是_3.若m

2、是_二、解答题4.已知a,b,c为正实数,a+b+c=1.求证：(1)/+尸+/2丄(2)j3a+2+j3b+2+j3c+2W63125.已知x,y,z^R，且兀+y+z=l,a2+)?24-z2=—,证明：兀，y,[0,—]236.证明下列不等式：(1)若x,y,zWR,a,b,cWR~,贝I」〃十(兀2+(+")/十“方孑$2(xy+yz+旷)cibc(2)若x,y,zWRS且x+y+z=xyz,则土+土+也22(丄+丄+丄)xyz兀yz1.已知Z,加、几是正整数,且1

3、]:nA(1+料)加2.若a>(),/?>(),a3+b3=2,求证：a+bW2,abWL参考答案1.：(分析综合法)欲证原式，即证4(")2+4(/+/,)—25ab+4N0,即证4(6/b)r4七25324251+ty*二162--〉16=25"1f2~1"40,b>0,a+b=l,:.ab^S不可能成立•/l=a+b^2y[ab,「.abW丄，从而得证.4证法二：(均值代换法)MX1;1

4、攻a=—+",b=—■®12「*•*67+/?=1,d>0,b>0,・・・/]+f2=0，1川<—,1/2〔<—22(lw/1、a2+沪+1••(a—)9+T)=x—-—abab19191712(㊁+/J+1(㊁+『2)+1(才+(1+/1+0(—+^2+t2+1)二1x~i二J'2㊁+‘22+?12+?2C+f]++1)(1+匚+t72+1)C+F)2—f/一44___4「显然当且仅当"即“吋吋，等号成立.证法三：(比较法)Va+b=l,a>0,b>0,:.a+bNlJ^,.•.dbW丄4/1、

5、门125a2+沪+1254a2b2+33ab+S(1-4^)(8-«/?)^n(aH—){bH—)=>()ab4•••(a+-)(b+-)>—ab4证法四：(综合法)4ab4abQO,/?>O,/.a+b22y[ab,/.abW丄.4c25(l-a/?)2+l>—16丄14ababII?5即(d+—)(b+訴〒ab4证法五：(三角代换法)Jd>0,b>0,o+b=l,故令d=sin2a,?7TZ?=cosa,aG(0,—)211919(a+—)(/?+—)=(sin〜a+——-—)(cos~aab

6、sirTQsin4a+cos4a一2sin2«cos2&+2(4-sin2a)2+16cosa4sin2la•/sin22a<1,.4-sin22cr>4-1=3.4-2sin22cz+16>25亠jsin22a44sin22a2(4-sin22a)2>254siir2q41.证法一：(1)当“等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;(2)假设心(Q1)时,不等式成立，即1+护咅+…+*<2仮，贝

7、J1+~^=+~^=+…+—<2y[k+丄—V2J3VTfIJk+vrn_2伙伙+

8、l)+l」+($+l=2村，•:当n=k+时,不等式成立.-^=<2/n.综合(1)、(2)得：当nWN*吋，都有1+令+令+•••+另从k到好1时的证明还有下列证法：2(k+1)-1-2Jk(k+V)=k—2Jk伙+1)+伙+1)=(7T-Vm)2>0,2祕伙+1)+1v2伙+1),*Jr+1>0,2.yfk4—/<2jk+LVTh又如:t2Jk+1—2[k=/f=>//=,Qk++ykJk+1+Jk+1+12y/~k+/1<2jk+1.VF+i证法二：对任意RUN：都冇：122vr~v

9、T+vrvr+vrn=2(vr_vr^r),因此i+12+2(^2—1)+2(^3—V^)+•—H2(V^"-J齐—1)=.证法三:设血)=2Vn-(111+-；=+-j=+・・・+a/2V3),那么对任意RUN*都有:^^[2伙+1)-2伙伙+1)-1]vm-r^'[伙+1)—2jk伙+1)+幻=广>()V^+iVTh:.fik+i)>f(k)因此，对任意都有f(n)>f(n~)>->f()=>0,・1111c厂.・1—f=H—t=-1—f=<2Qn.y/2