2、到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明屮的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法:本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+的过渡采用了放缩法;证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达kl标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：(1)当死等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立；⑵假设心心Ml)时,不等式成立,即1+17T<2仮,贝1」1+亠+丄+・・・+—<2低+J——V2V3Jk+1以+12盘伙+1)+1,+
3、仗+1)+1=+1,・••当n=M时,不等式成立.—j=<2y/~n.综合(1)、⑵得：当neN*时,都有1+吉+吉+・・•+另从£到鸟+1吋的证明还有下列证法：•・•2伙+1)_1_2Jk伙+1)=£_2Jk伙+1)+伙+1)=(JT-Vr+T)2>0,2jk伙+1)+1<2伙+1),21Jr+1+Jr+1Jr+1*.*Qk+1>0,2.y[k4—/<2丁k+1.乂如i:2vm-i^k=-j—―7=>Jr+i+Jr—]<2』k+].证法二：对任意RWN：都有:〒=l厂
4、此1H—f=H—亍H1—尸<24-2(y[i—1)+2(—V^)HF2(V^T—y/n—)=2.y/~H.V2V34n证法三：设f(n)=2侖一(1+—^+―+——J=-),V2a/3V/i那么对任意RUN*都有:/a+i)-/(/：)=2(vm-7r)--^==^^[2(k+l)—2j£(k+l)—1]•[伙+1)_2祸伙+1)+幻=(化LT^>0Jp+1Qk+・・・/U+l)>/伙)因此，对任意“WN"都有心)>心一1)>・・・>/⑴=l>0,!11+..10,)>0)
5、恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学主逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题n,所求。的最值蕴含于恒成立的不等式屮，因此需利川不等式的有关性质把。呈现岀来，等价转化的思想是解决题口的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将小y与cos0、sin〃来对应进行换元，即令y[x=cos0,J^=sin〃(0V^<—),这样也得aNsin〃+cos〃，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩
6、小了兀、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“X、尸1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，aMf{x),则dminhOOmux；若。勺劝，则Gmax=M»min，利用这一基木事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：
7、tl于d的值为止数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2y[xy^：a2(x+y),H
8、J2y/~xyW(/—l)(x+y),①当且仅当兀刁时,②中有等
9、号成立.比较①、②得a的最小值满足a2—1=1,・・・/=2,a=41(因d>0),・・・。的最小值是血.解法二：设-丈也匡巫F巨2逼*區.y/x+yV兀+yv尢+yvx+yVx>0,y>0,.x+y^2^xy(当x=y时"二”成立)，・・•迥wi,巫的最大值是1.x+yx+y从而可知，"的瑕大值为vm=V2,又由已知，得a^ut..a的最小值为忑.解法三:Vy>0,・・・原不等式可化为,设—=tan0,0G(0,—).―V-V2tan0+1Wa7tan20+1:即tan〃+1Wasec()/.6z>sin0+cosV2sin(
10、0+—),③4又・・・sin(0+-)的最大值为1(此时〃=兰).44由③式可知a的最小值为V2.•锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变
