高考数学难点突破难点18不等式的证明策略

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1、难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.髙考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历來是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考牛数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.•难点磁场(★★★★)已知a>0,b>0,且a+b=.II?5求证：(«+—)(/?+—)>—・ab4•案例探究［例1］证明不等式1+丄+丄+・・・+丄<2乔("GN)V2V34n命题意图：木题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题口，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力

2、，★★★级题口・知识依托：本题是一个为口然数"有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：亠…-

3、-¥<世+世+…+}iyz=Vw"<2ytiynv7/V"n「这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的鉛误也是经常发生的.技巧与方法:本题证法一采用数学归纳法从n=k到心+1的过渡采用了放缩法;证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达kl标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：(1)当死等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以

4、不等式成立；⑵假设心心$1)时，不等式成立，即1+117T+VT17T<2y/k9贝『1+~^=+△+•••+J——<2y[k+J——V2V3Jk+VJt+1二执空)+1」+(斗+、2后1,J*+1ylk+当n=k+1时,不等式成立.—j=^<2y/~n.Qn综合(1)、(2)得:当mWN时，都彳j1+了=+工^+…+另从k到k+时的证明还有下列证法：•・•2伙+l)—l—2jk仗+1)=R-2jk伙+1)+伙+1)=(V^-VT+7)2>o,2jk伙+1)+1<2伙+1),vm>0,.・.24k+-^=<

5、2VT+T.4k+l又如:t2JR+1—2^/k=/f=>i/=/,y/k++y/kJr+I+Jr+1Je+12.[kd/<2』k+].证法二：对任意RWN：都有:〒=l厂

6、(k+l)—2j£(k+l)—1]•[伙+1)_2祸伙+1)+幻=(化LT^>0Jp+1Qk+・・・/U+l)>/伙)因此，对任意“WN"都有心)>心一1)>・・・>/⑴=l>0,!11+..10,)>0)恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学主逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题n,所求。的最值蕴含于恒成立的不等式屮，因此需利川不等式的有关性质把。呈现岀来，等价转化的思想是解决题口的突

7、破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将小y与cos0、sin〃来对应进行换元，即令y[x=cos0,J^=sin〃(0V^<—),这样也得aNsin〃+cos〃，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了兀、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“X、尸1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，aMf{x),则dminhOOmux；若。勺劝，则Gma

8、x=M»min，利用这一基木事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：

9、tl于d的值为止数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2y[xy^：a2(x+y),H

10、J2y/~xyW(/—l)(x+y),①当且仅当兀刁时,②中有等号成立.比较①、②得d的最小值满足/—1=1,・・・/=2,a=41(因d>0),・・・。的最小值是血.解法二：设-丈也匡巫F巨2逼*區.y/x+yV兀+yv尢+yvx+yVx>0,y>0,.x+y^2^xy(当x=y

11、时"二”成立)，・・•迥wi,巫的最大值是1.x+yx+y从而可知，"的瑕大值为vm=V2,又由已知，得a^ut..a的最小值为忑.解法三:Vy>0,・・・原不等式可化为,设—=tan0,0G(0,—).―V-V2tan0+1Wa7tan20+1:即tan〃+1Wasec()/.6z>sin0+cosV2sin(0+—),③4又・・・sin(0+-)的最大值为1(此时〃=