高考数学难点突破_难点18__不等式的证明策略

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1、难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题屮，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历來是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.•难点磁场(★★★★)已知a>09b>0,且a+b=l.II25求iiln(a+—)(/?+—)$——・ab4•案例探究［例1］证明不等式1+亠+亠+・・・+亠<2丽SWN)V2V34n命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与口然数〃有关的命题，

2、首先想到应用数学归纳法，另外述涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.•・+4<世+世yz-*=麻V.2皿.Vna/n/fiyrt•・・.错解分析：此题易出现下列放缩错误：1+丄+丄•111这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从到料乂+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达廿标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n等于1时，不等式左端筹于1,右端等于2,所以不等式成立；⑵假设伙$1)吋，不等式成立，即1+1则1+护护…右<施+治_2jk伙+1)+1'+伙+1)+1_

3、m・・・当n=k+l时,不等式成立.综合⑴、(2)得:当时，都有1+亠+亠+…+丄<2亦.V2V34n另从k到£+1时的证明还有下列证法：•・•2伙+)__2Qk(k+)=k_2jk(k+1)+伙+1)=(VT_Jr+1尸>o,2JR伙+1)+1<2伙+1),Jk+1>0,/.H/<2Jk+1.Jk+又如I:•/2Jk+1—2y[k=/-r=>//=/,Jk+l+JkJk+l+J/c+1yjk+1证法二：对任意RGN*，都有:122VT~VT+VTVT+VTn=2(VT_VD),因止匕1+亠+亠+...+亠

4、T—Jn—1)=•证法三：设/0?)=2丽-(111H—亍H—f=+…+V2V3那么对任意RWN*都有:/(屮")=2(耐皿-右1vm廿屮一2耐+心^^>0因此，对任意nGN*都有心)>和一1)>・・・>几1)二1>0,lj~n.•・・l+A+A+・・・+A0)恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学牛逻辑分析能力，属!★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后

5、再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：木题解法三利川三和换元后确定。的取值范围，此时我们习惯是将兀、y与cos〃、sin0来对应进彳了换元，即令Vx=cos0,J7二sin0(0<0<—),这样也得aEsin〃+cos0,但2是这种换元是错谋的•其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于木题乂增加了“x、)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数。满足不等关系，CI&/(.¥),则如冃⑴吨；若dW/W，则知》=金)罰，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还

6、有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于d的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2y[xy^a2(x+y),即2y[xyW(/—l)(x+y),①・：x,y>0,・；兀+)92Jxy,当且仅当x=)，吋，②中有等号成立.比鮫①、②得。的最小值满足«2-1=1,・・./=2,a=41(因。>0),・・・。的最小值是JL解法二:x+y+2y[xyVx>0,y>0,.x+y^2y[xy（当时"=”成立）,・・・逅金,叵的最大值是1.x+yx+y从而刊知，u的最大值为J1+1=V2,又由已知，得a^u,:.a的最小值为血.解法三:Vy>0,・・・原不等式可

7、化为£+10,设—=tan0,OE（0,—）.y2tan〃+1Wa7tan204-1:即tan0+1Wasec8.•.dNsin〃+cos0=41sin（〃+兰），③4乂・・・sin（0+兰）的最大值为1（此时0=-）.44由③式可知d的最小值为VL•锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比鮫法、综合法和分析法，它们是证明不等式的故基本的方法.（1）比鮫法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主耍方向焰因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关