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《高考数学难点突破18不等式的证明策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历來是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.•难点磁场(★★★★)己知a>0,b>0,且a+b=1.1i求证：(g+—)(/?+—)$—.ab4•案例探究[例1]证明不等式1+丁+十+・・・+〒<2丽SGN)V2V3y/n命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题口，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题FI.知识
2、依托：本题是一个与自然数n有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：]_]_丄+亠
3、_丄<丄+丄_
4、JL-三=術<24n.屈丽Jn/nv/Ty/i[n•这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发牛的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从到的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：(1)当等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;⑵假设心鸟伙21)时，不等式
5、成立,即1+<2麻，贝叽+芈+土+・..+〒^0,2祕伙+1)+1<2伙+1),*Jr+1>0,2.[k4—/<2jk+LJk+又如:・.・2VT+T-2VT=—〉/2=^=Qk++ykyjk+1+Jk+1Jk+12yr+~^=<2以+1.证法二：対任意都有:~r=-lJ_—<~
6、r=―；=2(VT-Jp_1),VTy/k+>Jky/k+VF-d因止匕1+丄+丄+・・・+丄<2+2(71—1)+2(巧一血)+・・・+2(乔一7^1)=2爲.V2V3厶证法三设何=2丽-(1+右+吉+•••+命),那么对任意底N*都冇:⑴+i)-/(z：)=2(vm-vr)-1vm^=［2仗+1)-2祸伙+1)-1］7T+1-^•［伙+1)—2於伙+1)+V^+iVT+i・・・/伙+1)>/伙)因此，对任意都有和)>和一1)>・・・>/(1)=1>(),・・・心+厶+…+20,
7、y>O)tU成立的a的最小值.命题意图：木题考杏不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托:该题实质是给定条件求最值的题冃，所求Q的最值蕴含丁恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把。呈现出來，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：木题解法三利用三角换元示确定。的取值范I韦I,此时我们习惯是将x、y与cos〃、sin〃来对■应进彳亍换元，即令y[x=cos0,^J~y=sin〃(0<^<—),这样也得6/^sin2〃+cos〃，但是这种换元是错误
8、的.英原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“X、)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数。满足不等关系，Cl2f(X),贝'J«min=A^)max；若。今»，贝0«max=iZ(^)min»利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式屮所含参数的值域问题.还有三介换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于d的值为疋数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2J~xyWa2(x-^-y),即2J~xyW(/—1)(兀+y),
9、①••x,y>0,.x^y^2y[xy,当且仅当ey时，②屮有等号成立.比较①、②得a的最小值满足«2-1=1,・・./=2,a=42（因«>0）,:.a的最小值是血.解法二:设—分世声+77）2Jx+yV兀+yx+yTx>0,y>0,.x+y^2y[xy（当x=y时“二"成立）,・••逅W1,巫的最大值是1.x+yx+y从而可知，U的最大值为Jl+1=血,乂由已知，得a^u,.*.a的最小值为忑.解法三：・・了>0,・・.原不等式可化为£+10石二，设—=tan0,0e(0,—).y2tan〃+1WoJtan?0+1:即tan〃
10、+lWdsec〃.•.dMsin〃+cos0=41sin(^+―),③4乂Vsin(0+仝)的最大值为1(此时〃二兰).44由③式可知a的最小值为V2.•锦囊妙计1•不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和
