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《Ktoevj高考数学难点突破难点18不等式的证明策略费.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的H我表现的形式表现出来。—泰戈尔难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历來是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.•难点磁场(★★★★)已知d>0,b>0,且a+b=.求证：(a+—)(/?+—)$—.ab4•案例探究［例1］证明不等式1+命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综
2、合性题n,考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题冃.知识依托：本题是一个与自然数H有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：石=y/ftV2折・这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发牛的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从到的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：(1)当料等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;(2)假设心锹Ml)时,不等式成
3、立,即1+-=^<2y/k以+1Jk+12忙0+1」+(里+1=2后Jk+1Jk+1•:当n=k+1时，不等式成立.综合⑴、⑵得：当站时,都有唏+护…+$<2屁另从k到奸1时的证明还有下列证法：*.*2(k+1)-1-2』k(k+1)—k—2』k(k+1)+伙+1)=(7T-Vm)2>0,2祕伙+1)+1v2伙+1),*Jr+1>0,2.yfk4—/<2jk+LJk+又如:t2Jk+1—2[k=/f=>//=,Qk++ykJk+1+Jk+1+12y/~k+/1<2jk+1.VF+i证法二：对任意RUN：都冇：122vr~vT+vrvr+vrn
4、=2(vr_vr^r),i<2+2(^2—1)+2(^3—V^)+•—H2(V^"-J齐—1)=・证法三:设血)=2Vn-(1煌+护…+那么对任意kWN*都有:^^[2伙+1)-2伙伙+1)-1]vm-r^'[伙+1)—2jk伙+1)+幻=广>()V^+iVTh・••朋+i)>/伙)因此，对任意nWN“都有心)>知一1)>・・・>/(1)=1>0,・1111C厂.・1f=Hj=-H1f=<2VH.y/2V3/n[例2]求使V7+y[yWqJ兀+y(x>0,y>0)恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学牛•逻辑分析能
5、力，属于★★★★★级题冃.知识依托:该题实质是给定条件求最值的题目，所求。的最值蕴含于恒成立的不等式屮,因此盂利用不等式的冇关性质把a呈现出来，等价转化的思、想是解决题忖的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定Q的収值范围，此时我们习惯是将x、y与cos0、sin〃來对应进行换元，即令4x=cos“，-Jy=sin〃(0<0<—),这样也得a2sin20+cos0,但是这种换元是错误的•其原因是:(1)缩小了兀、y的范围;(2)这样换元相当于本题又增加了“心)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与
6、方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a,则QminhWmax；若。有(尤)，贝>J«nmx=^^)min»利用这一基本事实，町以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题•还冇三介换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于d的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2-JxyW/（x+y）,即2-JxyW（/—1）（x+y）,①,.x,y>0,.x+y^2y[xy,②当且仅当xy时，②中有等号成立.比较①、②得。的最小值满足/一1=1,・・./=2,a=Jl（因«>0）,:.a的最
7、小值是逅.解法二样轩曲序Vx>（）,y>0,.x+y^2-yfxy（当x=y时"='‘成立），・••逅S逅的最大值是1.x+yx+y从而川知，“的最大值为Jl+1=V2,又由已知，得:.a的最小值为血.解法三：•・》>（）,・・・原不等式可化为耳+lWa石二，设J^=tan〃，0e（0,彳）.tan〃+1WaJtan，0+1；即tan〃+lWasco〃/.tz^sin&+cos^=a/2sin（〃+—）,4又・・・sin（〃+兰）的最大值为1（此时（）亠.44由③式可知a的最小值为V2.•锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，
8、它们是证明不等式的最基木的方法.（1）比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分
