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《高考数学难点突破_难点18__不等式的证明策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结介.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.•难点磁场(★★★★)已知。>0,/?>0,且a+b=.求证:•案例探究［例门证明不等式1+护护•••+*<2乔(»丘N")命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学牛观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，局★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与口然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩
2、法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错课:这样只注重形式的统一，1何忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从〃*到gk+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达日标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：(1)当川等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立；(2)假设m=R(Q1)时,不等式成立,I1—f=H7=HFV2V37T<2攸,1<2jk(k+l)+l/£+伙+1)+1=2^j—j•:当n=k+1时，不等式成立.综合(1)、(2)得•:当用N*时，都有1+亠+亠+・..+亠
3、V2丽.V2V3另从k到R+1时的证明还有卜•列证法:•・•2伙+1)—1—27WT1)=£—27^71)+伙+1)=(VT-Vm)2>0,2』k(k+n+1v2伙+1),*.*JZc+1>0,H—/<2Jk+1.乂女口:・.・2VTTT-2低=―.——2=2VT+<2JR+1.VT+i证法二:对任意胆V,都有:—j=-厂〜厂<~~1/—2(VT—yjk-\y/kJkJk+Jk因此］h—-j=h—+…—-r=<2+2(-^2—1)+2(—V2)+…+-Jn-1)=2>f^i.a/2V3证法三：设/S)=2丽一(1+右+吉+…+命),那么对任意圧N*都有:/伙+I)_f(
4、k)=2(』k+1-VT)—/Qk+1天石［2伙+1)_2她+1)_1］君［(中)一2时+心^
5、^>。因此，对任意都有几?)>血一1)>・・・>./⑴=1>0,・・・1+厶+厶+・..+厶0)恒成立的a的最小低命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托:该题实质是给定条件求最值的题日，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式屮，因此需利用不等式的冇关性质把q呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破II,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利
6、用三角换元后确定。的収值范围，此时我们习惯是将x、y与cos0、sin〃来对应进行换元，即令y[x=cos0,yj~y=sin〃(0<^<—),这样也得a2sin〃+cos0,但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“小)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，Cl^f(X),贝【JGmin=/i»max；若。有(兀)，贝Udmaxh⑴min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当
7、好处，可以把原问题转化.解法一：由于G的值为止数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2^~xy^«2(x+y),即2^[xyW(/—l)(x+y),①/.x,y>0,・9.x+y^2-J~xy,当且仅当x=y时，②中有筹号成立.比较①、②得ci的最小值满足a2—1=1:.a=2,a=y[2（因tz>0）,At?的最小值是JI.解法二:设Jx+yx+V+兀+yVx>0,y>09.x+y^2y[xy（当x=y时“二”成立）,・・•巫£,巫的最大值是1.x+y兀+y从而町知，U的最大值为714-1=V2,乂由已知，得a^u.:.a的最小值为忑.解法三：•・・〉＞(),・・・原
8、不等式可化为£+1&fl,设—=tan0,0€(0,—).y2tan〃+1WdJtan?&+1；即tan〃+lWasec〃.•.aMsin0+cos^=y[2sin(^+―),③4又・・・sin(0+仝)的最大值为1(此时0=-).44由③式可知a的最小值为V2.•锦能妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综介法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主耍方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别
