高考数学难点突破18__不等式的证明策略.doc

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1、高中数学难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+)(b+)≥.●案例探究［例1］证明不等式(n∈N*)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造

2、法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，∴当n=k+1时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+＜2.另从k到k+1时的证明还有下列证法：证法二：对任意k∈N*，都有：证法三：设f(n)=那么对任意k∈N*都有：

3、∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意n∈N*都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，∴［例2］求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜)，这样也

4、得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max；若a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y

5、≥2，②当且仅当x=y时，②中有等号成立.比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=(因a＞0)，∴a的最小值是.解法二：设.∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2(当x=y时“=”成立)，∴≤1，的最大值是1.从而可知，u的最大值为，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化为+1≤a，设=tanθ，θ∈(0，).∴tanθ+1≤a；即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)，③又∵sin(θ+)的最大值为1(此时θ=).由③式可知a的最小值为.●锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最

6、基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正

7、面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练一、填空题1.(★★★★★)已知x、y是正变数，a、b是正常数，且=1，x+y的最小值为__________.2.(★★★★)设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且

8、a－d

9、＜

10、b－c

11、，则ad与bc的大小关系是_