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《高考数学重点难点18不等式的证明策略.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.•难点磁场（★★★★）已知a>0,b>0,且a+b=l.1]?5求证：(°—)(b—)$—.ab4•案例探究［例1］证明不等式1+-丄+丄+•••+—2石（/?$1）V2y/3aM命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，
2、属★★★★★级题H.知识依托：木题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：1H亠…+丄<-p.+-p.+…H—t7-=兀V.24n.y/3Jri-/nv/T4'h刼这样只注重形式的统一，而忽略人小关系的错误也是经常发牛的.技巧少方法：本题证法一釆用数学归纳法从川=£到心+1的过渡釆用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，冇的放矢，直达冃标；而证法三运川函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：（1）当川等于1时，不等式左端等于1,右端
3、等于2,所以不等式成立；⑵假设心心21）时，不等式成立，即1+17T<2a/T,贝lj]H—■=—■=-1—/<2H—/■x/2a/3VT+1VT+1=2於伙+1)+1」+伙+1)+1“戸vrnvt+t，・••当n=k+l时,不等式成立.综合(1)、(2)得：为时，都右1—-f=H—-f=H1—f=<2J匚.V2V34n另从k到R+1时的证明还冇下列证法：•・•2伙+1)-1-2伙伙+1)=k-2jk伙+1)+伙+1)=(VT-vmy>o,2』k(k+1)+1<2(k+1),*.*ylk+1>0,2>y[kh—/<2Jk
4、+1.Jr+i乂如:t2Jk+1—2y[k=/j=>//=/,Jk+l+JkJk+l+Jk+1Jk+114k+~^=<2jR+l.VT+i证法二：対任意都有:-J=-LJ_—<~r=―；=2(VT-Jp_1),VTy/k+>Jky/k+VF-d因止匕1+丄+丄+・・・+丄<2+2(71—1)+2(巧一血)+・・・+2(乔一7^1)=2爲.V2V3厶证法三设何=2丽-(1+右+吉+•••+命),那么对任意底N*都冇:⑴+i)-/(z：)=2(vm-vr)-1vm^=［2仗+1)-2祸伙+1)-1］7T+1-^•［伙+1)—2
5、於伙+1)+V^+iVT+i・・・/伙+1)>/伙)因此，对任意都有和)>和一1)>・・・>/(1)=1>(),・・・心+厶+…+20,y>O)tU成立的a的最小值.命题意图：木题考杏不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托:该题实质是给定条件求最值的题冃，所求Q的最值蕴含丁恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把。呈现出來，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：木题解法三利
6、用三角换元示确定。的取值范I韦I,此时我们习惯是将x、y与cos〃、sin〃来对■应进彳亍换元，即令y[x=cos0,^J~y=sin〃(0<^<—),这样也得6/^sin2〃+cos〃，但是这种换元是错误的.英原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“X、)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数。满足不等关系，Cl2f(X),贝'J«min=A^)max；若。今»，贝0«max=iZ(^)min»利用这一基本事实，可以较轻松
7、地解决这一类不等式屮所含参数的值域问题.还有三介换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于d的值为疋数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2J~xyWa2(x-^-y),即2J~xyW(/—1)(兀+y),①••x,y>0,.x^y^2y[xy,当且仅当ey时，②屮有等号成立.比较①、②得Q的最小值满足1=1,・・./=2,a=42（因«>0）,:.a的最小值是血.解法二:设—分世声+77）2Jx+yV兀+yx+yTx>0,y>0,.x+y^2y[xy（当x=y时“二"成立）,・••逅W1,巫的最大值是1
8、.x+yx+y从而可知，U的最大值为Jl+1=血,乂由已知，得a^u,.*.a的最小值为忑.解法三：・・了>0,・・.原不等式可化为£+10石二，设—=tan0,0e(0,—).y2tan〃+1WoJtan?0+1:即tan〃+lWdsec〃.•.dMsin〃+cos0=41sin(^+―),③4乂V
