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《【数学】高考数学难点归纳18不等式的证明策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历來是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考牛数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.•难点磁场（★★★★）已知a>0,/?>0,且a+b=.求证:S+丄）叙）洱.ab4-•案例探究[例1]证明不等式l+J=+J=+.・・+J=<命题意图：本题是•道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题11,考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题
2、是一个与口然数〃有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外述涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错谋：这样只注重形式的统一，而忽略人小关系的错谋也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从斤乂到77=^1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，冇的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：（1）当77等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立；（2）假设十）时,不等式成立，即*护护…+*<2広则1+1<2伙伙+1)+1/R+伙+1
3、)+1=?'口/•当n=k+l时，不等式成立.综合⑴、⑵得：当小时，都有1+护护...+*<2丽.另从k到好1时的证明还有下列证法：*.*2(k+1)-1-2』k(k+1)—k—2』k(k+1)+伙+1)=(VT-Vm)2>o,2JR伙+1)+1<2(R+1),*.•lk+1>0,/.■!—/<2Jk+1.Jr+i乂如:*.*2Jk+1—2^/k=/-f=>//=iJr+1+JrjR+l+Jk+lyjk+12仮+-7^=<2jR+l.如1证法二对任意圧N：都有:—/=-厂厶l<~f=~~[—2(—_1),JkJk
4、+QkQk+Qk-因此1+土+土+.・・+芈<2+2(血—1)+2(巧—血)+・・・+2(折—7^1)=2乔.V2V3yjn证法三:设f(n)=14n-(l+-y=r+-^4-•••+~^=),那么对任总kGN*都有:/u+i)-/(^)=2(vm-vr)-1vm^=[2伙+1)-2jk伙+1)-1]~^=•[伙+1)-2&伙+1)+幻」>0VT+iVT+i・••朋+i)>/伙)因此，对任意nGN*都有几?)>血一1)>・・・>八1)=1>0,+•••+2fn.[例2]求使V7+“WaJx+y(QO,y>O)
5、
6、EL成立的a的最小低命题意图：本题考査不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，屈于★★★★★级题目.知识依托:该题实质是给定条件求最值的题日，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式屮，因此需利用不等式的冇关性质把°呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破II,然后再利用函数思想和重耍不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定。的取值范围，此时我们习惯是将兀、)，与cos0、sin〃来对应进行换元，即令yfx=cos0,“=sin〃(0<0<—),这样也得a2sin0+cos〃，但是这种换元是错误的
7、.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“兀、)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法:除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，叩若参数a满足不等关系，a^f(X),则Gmin=/i»max；若。有(兀)，贝Udmaxh⑴min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于d的值为止数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2-JxyWd'(x+y),即2y/~xy^(«2—l)(
8、x+y),①/.x,y>0,当口仅当x=y时，②中有等号成立.比较①、②得d的最小值满足济一1二1,・・./=2,a二近（因°>0）,・・・°的最小值是血.解法二设-尊也匡巫己任壬莎匚逅.yjx+yy兀+yv兀+yv兀+yVx>0,y>0,.9.x+y^2y[xy（当x=y时“二”成立），・・・玉叵wi,玉叵的最大值是1.x+yx+y从而可知,i（的最大值为Jl+1=V2,又由已知,得5,・・・a的最小值为JI.解法三：・・了>0,・・・原不等式可化为石+1&£匚，设—=tan0,〃丘（0,—）.b2tan〃+1W
9、dJtan?0+1；即tan〃+lWasec&.•.aNsin0+cos“二血sin（〃+—），4又vsin（e+-）的最大值为1（此时e=-44由③式可知a的最小值为V2.•锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综介法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.（1）比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主耍方向是因式分解、配方，判断
