高考数学难点归纳18_不等式的证明策略教案

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1、不等式的证明［例1］证明不等式1—；=H—尸H1—产<2y［n（nWN）V2V3yjn证法一：（1）当等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;⑵假设心心21）时，不等式成立，即口厶+厶+…+丄<2仮，V2V3ylk贝lj1+亠+亠+…+J——v2VT+2-——V2V3VT+iVTfT=2灰氾+1」+(斗+1=2”,如1如1•:当〃*+1时，不等式成立.综合（1）、（2）得：半N时，都右1+——-=H•—<2丿7.V2V3y/n另从k到R+1时的证明还冇下列证法：t2伙+1)-1-2Jk伙+1)—k—2』k(k+1)+伙+1)=(VT-V

2、m)2>o,2Jk伙+1)+1<2(k+1),*.*y/k+1>0,/.H—i<2.lk+1.Jk+乂如：•/2JR+1—2^[k=/j=>//=i4k+i+y[kvth+vfmvrn/.2,-[k4—/<2Jk+Ly/k+1证法二：对任意REN；都有:122VT~VT+VTVT+VF^T=2(VT-VT^i),因此“护护…灶v2+2(^2—1)+2(^3-V^)+…+2(V^~-Jn—1)=.证法三:设f(.n)=2V^"-(1+(—+~^=+…那么対任意RWN都有:于伙+i)_mo=2(vmvr)_^^k+1^=[2(k+1)-2jR伙+1

3、)-1]VF+T•[伙+1)_2Jr伙+i)+幻vthvm・•・1+A+A+…+厶<2丽.V2V3y/n・・.f（k+i）>f（k）因此，对任意hen*都有和）>加一1）>・・・>/（1）=1>0,［例2］求使V7+五Wa』x+y（x>（）,y>0）恒成立的a的最小值.解法一：由丁9的值为匸数，将已知不等式两边平方，得:x+y+2yj~xyWa2(x+y),即2yj~xyW(/—1)(x+j),.*.x,y>0,.x+y^2y[xy,②当fL仅当x=y时，②中冇等号成立.比较①、②得。的最小值满足a2-1=1,・*.6t2=2,a=V2（因d>0）,

4、・・・d的最小值是VI.解法二:设M(V7+77)2x+y.x+y^2Jxy(当x=y时"=”成立)，二''W1,x+y空兰的最大值是1.x+y从而可知，弘的最大值为JTTT二血，乂由己知，得・・・°的最小值为解法三：・・了>0,・・・原不等式可化为设/.tan〃+1；即Uin〃+lWasec0.a^sin〃+cos0=>[2sin(〃+—),4③又Vsin（0+兰）的最大值为1（此时〃=兰）.由③式可知。的最小值为VL44一、填空题1.已知兀、y是正变数，b是正常数，仇兰+2=1,x+y的最小值为.兀y2.设正数a、b、c、d满足a+d=b+c,

5、Ha—d

6、十>32(丄+丄+丄)%yzxyz.7.已Mlifn是正整数,且lViW/nVn.(l)证明:nlAlm；(2)证明:(1+加)">(1+死)"‘8•若a>0,b>0,a3+b3=29求证：a+bW2,abWl.参考答案证法一：（分析综合法）欲证原式，即证4（0/?）2+4（/+尸）一25ab+420,即证4（«/?）2—33（6//?）+8^0,即证ab^：—或4证法三：(比较法)V«+/?=l,°>0,方>0,：・a+b22懈,:.ab^-425a2+&2+l254^2+33"+8(1-4ab)(S-ab)n==>0(口+丄)(方+[)_ab4a

7、b4/1、仏1、、25•••(a+-)(/?+-)>—ab44ab4ab证法四:（综合法）Ta+ia>0,b>Q,••a+b^2[ab,:・abW—.4I39•••

8、一"次一才二H=>(1一25(l-^)2+l>—16—>4ab=>g土占即@+s+丄)占4ab4ab证法五：（三角代换法）•••d>0,b>0,a^b=1,故令•2a=sma9兀,b=cos^a、aG(0,—)2Va>0,b>0,a+b=1,/.ab8不可能成立V]=a+b^2y[ah,:.abW丄,从而得证.4证法二：(均值代换法)设0=丄+",b=-+t2,V^+/7=l,a>0,b

9、>0,/.ri+Z2=0,I/1K-,lz2l<-2222/11、/+i戸+i・•.(a+-)