3、k +12k ( k +1) +1k +( k +1) +1=<=2k +1, k +1k +1∴当 n=k+1 时，不等式成立. *111综合(1)、(2)得：当 n∈N时，都有 1+++L+＜2n. 23n另从 k到 k+1 时的证明还有下列证法：Q2( k +1) -1-2k ( k +1) =k -2k ( k +1) +( k +1) 2=( k -k +1) >0, 2k ( k +1) +1<2( k +1), 1Qk +1>0, 2k +<2k +1. k +1221又如:Q2k +1-2k =>=,k +1+k k +1+k +1k +11 尤
4、新教育辅导学校12k +<2k +1. k +1*证法二：对任意 k∈N，都有：122=<=2( k -k -1), kk +k k +k -1111因此1+++L+<2+2( 2-1) +2( 3-2) +L+2( n-n-1) =2n. 23n111证法三：设 f(n)= 2n-( 1+++L+), 23n*那么对任意k∈N都有：1f( k +1) -f( k ) =2( k +1-k ) -k +11=[2( k +1) -2k ( k +1) -1] k +121( k +1-k ) =×[( k +1) -2k ( k +1) +k ] =>0k +1k
5、 +1∴f(k+1)＞f(k)*因此，对任意 n∈N都有 f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，111∴1+++L+<2n. 23n［例 2］求使x+y ≤a x+y (x＞0，y＞0)恒成立的 a 的最小值. 命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目. 知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值. 错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我
6、们习惯是将x、y与pcosθ、sinθ来对应进行换元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜)，这样也得a≥sin 2θ+cosθ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了 x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的. 技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数 a 满足不等关系，a≥f(x)，则 amin=f(x)max；若a≤f(x)，则 amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转
7、化. 解法一：由于 a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：22x+y+2xy ≤a(x+y)，即 2xy ≤(a－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2xy ，②当且仅当x=y时，②中有等号成立.2 尤新教育辅导学校2比较①、②得 a 的最小值满足a－1=1，2∴a=2，a= 2 (因 a＞0)，∴a 的最小值是2 . 2x +y ( x +y ) x +y +2xy 2xy 解法二：设u====1+. x +y x +y x +y x +y ∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(当 x=y时“=”成立)，2xy2xy∴≤1，的最大值是 1. x +y
