Vasc不等式的证明及应用

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1、2012年第51卷第2期数学通报53Vasc不等式的证明及应用张宏(广东省工业贸易职业技术学校528237)我们知道，对于任意的实数z，Y，，都有768[ab)+()+()]．(z++z)>j3(xy+yz+zx)，在此不等式中令z一口。+6c—ab，—b+Ca—bc，z—C+口6一Ca，证明(∑。≥3∑一3∑≥其中n，b，C为任意的实数，可得：3∑_768∑)·[∑(+一口6)]。≥3∑[(口+缸一ab)[÷(口+b+b+6)]“。一×(6+ca—bc)]．例2设z，，z≥o，求证：扛(z+Y一2z)因∑(a2+bc—n6)一

2、∑a+∑bc+(+z一2x)+(-4-z一2y)≥0．一∑ab证明令—n。，3，=b。，z—C。，不等式等价一∑a。+∑一∑一∑a。，于：又∑[(口+6c—ab)×(6+ca一)]∑a(a。+b一2c3)≥0一(ab2+ca3一n6c+b。c+abc一b。c。∑a(a。+b。一2c。)一。一n+c)一∑n+∑ab。一2∑c。口一∑nb+∑ca。一abc∑。+∑b。c+一(∑n)。一2∑aZb+∑ab。一2∑a3babc∑c一∑b。c。～∑ab。一abc∑口+∑b≥3∑a。b一2∑口b+∑ab。一2∑n。b一∑nb+∑ab。一ab

3、c∑n+∑口。b+一∑口。b一2∑nb+∑ab。abc∑n一∑a2b一∑ab。一abc∑n+∑a一∑ab(n一6)≥o，原不等式得证．—n。b．例3已知实数n，b，C满足a+b+C一3，求证：nb+bC+C口≤3．故(∑a)≥3∑口b．①证明∑nb一∑(口。b·口。)在(∑)≥3∑中令z—a+～ca，—b+∞一，—f+一，同法可得：≤∑(∑n)≥3∑ab。．②一告∑[(口。)。6]+专∑口式①与式②这两个优美的姐妹不等式被称为Vasc不等式，Vasc不等式是罗马尼亚的Vasile≤1×1[∑(a2)。]+丢∑n4Cirtoaje

4、教授在1992年发现的，遗憾的是，2O年一×3+×3：3，原不等式得证．来国内外的数学杂志鲜有文章介绍Vasc不等式的应用问题，为弥补这方面的不足，本文以例题的形式介绍如何应用Vasc不等式．例1设口，6，c>O，求证：(n+6。+c。)≥54数学通报2012年第51卷第2期解一一≤(∑n)(∑n)+3∑a。b+∑ab十∑ab。1()。一故_≥口一1()。，≥aO十lZP一∑≥∑a一1∑[()。侗(∑n)。(∑n)。+(∑)+÷(∑a)≥+工13(∑n)。≥∑a一丢×告[∑()]。一蒉，原不等式得证．一3～吉一号．例7(1997

5、年日本数学奥林匹克)一故P的最小值为号．设n，b，C>0，求证：(6+C—n)．(c+a一6)，(口+b—f)例5(2007年克罗地亚队选拔考试题)设口，(6+c)+n(f+n)+6。’(n+6)+f。b，C>0，且a+b+C—1．求证：a2b2十c2≥_詈_．十≥3(n。+6-Jr-c2)．证明使用Vasc不等式及柯西不等式的变证明∑式：一垒!±丝二!譬z+譬+z≥(azq十-bY@十cz)2，可得：(b+)+nb、[∑(6+bc—o~)-1c∑詈一[∑(芳)。]。≥3∑[(芳)。()]一3∑0．3—3∑(∑b)V、厂a5_c

6、_l∑b+2∑b。c+2∑bc、。×、，(∑0．2)、≥赫3(∑0．2)≥(∑b。)。+2×告(∑b)。3(∑-。)。一～一原不等式得证．一9(∑a)．∑ab注：本题不能直接用柯西不等式的变式．例8(2004年印度数学奥林匹克)设a，b，C故∑譬≥3∑n。，原不等式得证．>++Cz-~-a2的最小值．Vasc不等式常用于分式不等式的证明，其方法是先用上例提到的柯西不等式的变式，再使用解因∑一∑Vasc不等式，这种方法在数学竞赛中经常可用到．、[∑(n。+bz)]例6(2005年越南队选拔考试题)设a，b，c>0，求证：一!(南)

7、。+()。+()。≥詈．2∑nb+∑n。b+∑ab。4((zz)。证明≥∑(南)一∑0．4瓣(＆z)。一3，故∑az干+b2的最小值为3．≥2012年第51卷第2期数学通报55用数表法证明一个不等式引出的两个猜想张明利(聊城大学东昌学院数学系252000)不等式：已知z，Y∈R+，且z+一1，求证：N，则z<(一)(一)≤导㈩立i=1(z+当(na+)”．㈤是由当年身为高三学生的胡湘萍(指导教师：并用“零件不等式”给出了证明．宋庆)在数学通讯2001年第20期中发表的《几个康晓蓉老师在文[7]中又将其条件口∈N推有趣的双边不等式

8、》一文中提出的．此不等式是笔广为0≤n≤1时不等式(4)式成立，并用“函数的者根据以下常见代数不等式题编制而成：凸性理论给出了证明．已知X，Y∈R+，且+一1，求证本文拟提出一个大胆的猜想：将条件。∈N、0≤n≤1改成n为非负实数，即(z+)(+专)≥萼．c2对