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时间:2020-04-01
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1、6.2不等式的证明(一)●知识梳理1.均值定理:a+b≥2;ab≤()2(a、b∈R+),当且仅当a=b时取等号.2.比较法:a-b>0a>b,a-b<0a<b.3.作商法:a>0,b>0,>1a>b.特别提示1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号,作差变形的方向常常是因式分解后,把差写成积的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用条件,若>1不能推出a>b.这里要注意a、b两数的符号.●点击双基1.若a、b是正数,则、、、这四个数的大小顺序是A.≤≤≤B.≤≤≤C.≤≤≤D.≤≤≤解析:可设a=1,b=2,则
2、=,=,=,===.答案:C2.设0<x<1,则a=x,b=1+x,c=中最大的一个是A.aB.bC.cD.不能确定解析:∵0<x<1,∴1+x>2=>.∴只需比较1+x与的大小.∵1+x-==-<0,∴1+x<.答案:C3.若a、b、c是常数,则“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件必要条件解析:当a>0,b2-4ac<0时,ax2+bx+c>0.反之,ax2+bx+c>0对x∈R成立不能推出a>0,b2-4ac<0.反例:a=b=0,c=2.故选A.答案:A4
3、.(理)已知
4、a+b
5、<-c(a、b、c∈R),给出下列不等式:①a<-b-c;②a>-b+c;③a<b-c;④
6、a
7、<
8、b
9、-c;⑤
10、a
11、<-
12、b
13、-c.其中一定成立的不等式是____________.(把成立的不等式的序号都填上)解析:∵
14、a+b
15、<-c,∴c<a+b<-c.∴-b+c<a<-b-c.故①②成立,③不成立.∵
16、a+b
17、<-c,
18、a+b
19、≥
20、a
21、-
22、b
23、,∴
24、a
25、-
26、b
27、<-c.∴
28、a
29、<
30、b
31、-c.故④成立,⑤不成立.答案:①②④(文)若a、b∈R,有下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a5+b5
32、>a3b2+a2b3;④a+≥2.其中一定成立的是__________.解析:①a2+3-2a=(a-1)2+2>0,∴a2+3>2a;②a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1);③a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).∵(a-b)2≥0,a2+ab+b2≥0,但a+b符号不确定,∴a5+b5>a3b2+a2b3不正确;④a∈R时,a+≥2不正确.答案:①②5.船在流水中在甲地和乙地间来回
33、行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.解析:设甲地至乙地的距离为s,船在静水中的速度为v2,水流速度为v(v2>v>0),则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=,平均速度v1==.∵v1-v2=-v2=-<0,∴v1<v2.答案:v1<v2●典例剖析【例1】设a>0,b>0,求证:()()≥a+b.剖析:不等式两端都是多项式的形式,故可用比差法证明或比商法证明.证法一:左边-右边=-(+)===≥0.∴原不等式成立.证法二:左边>0,右边>0,==≥=1.∴原不等式成立.评述:用比较法证不等式,
34、一般要经历作差(或商)、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中,也可利用基本不等式放缩,如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.【例2】已知a、b、x、y∈R+且>,x>y.求证:>.剖析:观察待证不等式的特征,用比较法或分析法较适合.证法一:(作差比较法)∵-=,又>且a、b∈R+,∴b>a>0.又x>y>0,∴bx>ay.∴>0,即>.证法二:(分析法)∵x、y、a、b∈R+,∴要证>,只需证明x(y+b)>y(x+a),即证xb>ya.而由>>0,∴b>a>0.又x>y>0,知xb>ya显然成立.
35、故原不等式成立.思考讨论该例若用函数的单调性应如何构造函数?解法一:令f(x)=,易证f(x)在(0,+∞)上为增函数,从而>.再令g(x)=,易证g(x)在(0,+∞)上单调递减.∵>,a、b∈R+.∴a<b.∴g(a)>g(b),即>,命题得证.解法二:原不等式即为>,为此构造函数f(x)=,x∈(0,+∞).易证f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,而>,∴>,即>.【例3】某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6t,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购
36、买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?(2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210t时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该
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