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1、数学高考总复习:基本不等式与不等式的证明 编稿:林景飞 审稿;张扬 责编:严春梅知识网络目标认知考试大纲要求: 1.了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题; 2.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ①;②; 3.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. 4.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.会用数学归纳法证明贝努 利不等式:为大于1的正整数);了解当n为实数时贝
2、努利不等式也 成立. 5.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.重点: 会用基本不等式、柯西不等式等解决简单的最大(小)值问题;了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.难点: 利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值,特别注意等号成立条件;不等式的证明。知识要点梳理知识点一:绝对值不等式的性质 1.; 2.;知识点二:基本不等式 1、如果那么当且仅当时取“=”号). 2、如果那么(当且仅当时取“=”号). 3、如果,那么(
3、当且仅当时取“=”号) 4、如果,那么(当且仅当时取“=”号) 5、若a1,a2,....,an∈R+,则:≥(n∈N) 当且仅当a1=a2=.......=an时,取等号。知识点三:柯西不等式1.二维形式的柯西不等式: (1)向量形式: 设是两个向量,则,当且仅当是零向量或存在实数k,使时,等 号成立。 (2)代数形式: ①若a、b、c、d都是实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立; ②若a、b、c、d都是正实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立; ③若a、b、c、d都是实数,
4、则,当且仅当ac=bd时,等号成立; 注意:柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示; (3)三角形式: 设,则。2.三维形式的柯西不等式(代数形式): 若都是实数,则,当且仅当或存在实数k,使得时,等号成立。3.一般形式的柯西不等式(代数形式): 若都是实数,则 , 当且仅当或存在实数k,使得时,等号成立。知识点四:不等式的证明1.不等式证明的理论依据: 不等式的概念和性质,实数的性质,以及一些基本的不等式: (1)若a∈R,则
5、a
6、≥0,a2≥0. (2)若a,b∈R,则a2+b2≥2a
7、b. (3)若a,b∈R+,则≥ (4)若a,b同号,则+≥2. (5)若a,b,c∈R+,则≥ (6)若a,b∈R,则
8、
9、a
10、-
11、b
12、
13、≤
14、a+b
15、≤
16、a
17、+
18、b
19、2.证明不等式的基本方法: 比较法(作差、作商),综合法,分析法,数学归纳法及反证法;另外还有如换元法、放缩法等。规律方法指导 (1)基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则 考虑使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对 于给出的“积式”中的各项的“和”为
20、定值则“积”有最大值。 (2)在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。 ①一正:函数的解析式中,各项均为正数; ②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。 (3)在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用,用放缩法证明时放大或缩小应适度。 (4)柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙的运用它,可以使 一些较为困难的问题迎刃而解,并且柯西不等式本身的证明方法也
21、值得在不等式证明中借鉴。利 用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。经典例题精析类型一:利用基本不等式求最值1.求下列函数的最大(或最小)值. (1); (2),; (3), (4),; (5),思路点拨:要求最值,根据基本不等式,需要对条件进行必要的变形. 解析: (1)∵,∴,∴ 当且仅当,即时取等号 ∴时, (2)∵,∴ 当且仅当即时,. (3)∵,∴∴ 当且仅当即时,. (4)∵,∴∴ 当且仅当即时,. (5)∵,∴∴ 当且仅当即时,总结
22、升华: 1.用基本不等式求最值,一般要先对式子进行变形配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用 的方法,要学会观察学会变形.变量的范围是不可忽视的. 2.在利用平均值不等式求二元函数的最值问题时,注意通过消元,化二元问题为一元问题,要注意合 理变形,并寻求使等号成立的条件.