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《2018高考数学考点突破——不等式、推理与证明：基本不等式+含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、基本不等式【考点梳理】1.基本不等式個Wg-~b2（1）基本不等式成立的条件：。>0,方>0.（2）等号成立的条件：当且仅当込.2.几个重要的不等式（1）/+於2如,bWR）；（2舟+詩2S，b同号且不为零）；(3)obWbWR)；6Z2+/?22(a‘gR).2.算术平均数与几何平均数设QO,Q0,则g,方的算术平均数为字，几何平均数为個，基木不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,贝ij⑴如果xy是定值”，那么当且仅当x=y时，x+y有最
2、小值是厶0（简记：积定和最小）.2⑵如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时，xy有最大值是才（简记：和定积最大）.【考点突破】考点一、利用基木不等式求最值【例1】（1）若实数Q,b满足2+3=7^则ab的最小值为（A.^2B・2C.2^2D.4(2)已知正数x,y满足d+2xy—3=0,则2x+y的最小值是［答案］(1)C(2)3即222-b卄1-Q=i2［解析］⑴由~+^=y［ah知°>0,/?>0,1=2当且仅当V:b即g=加，b=2^2时取“=",所以"的最小匚+歹畅,值为2、/1°3—”31_3_13
3、x(2)由/+2xy—3=0得y=2x=2x~2^,则2x+y=2x+2x~2^=Y+2x/3x3_2iQ・2x=3,当且仅当兀=1时，等号成立，所以2x+y的最小值为3.【类题通法】1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大,积定和最小”・2.在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.【对点训练】2I1.已知a>0,b>0,且2a+b=l,若不等式方+厅》加恒成立，则加的最大值等于()B.9A.10C・8D
4、・7［答案］BI解析W+碁呼+穹=4+乎+晋+一+2銚卜5+2X2^#X^=9,当且仅当<2=/?=*时取等号.又丫+*2加，Am^9,即加的最大值等于9,故选B.2.已知实数加，斤满足m+n=~l,则£++的最大值为.fibfr［答案］—4［解析］m+/?=—1,/.m<0,n<0,i,1,(,n•:—+_=_(加+〃)~4~~mn'mn)=—C+万+万齐—2—2当且仅当m=n=—*时，丄+丄取得最大值一4.2mn考点二、利用基本不等式证明不等式【例2】已知Q0,b>0,a+b=,求证：（1*+斤書冰
5、⑵（1+9?+浪9.［解析］证明:⑴出+法=2（知另,V^+/?=1,q>0,b>0,1B1a+bia+b=^~+a+b~ir=2+号+伶2+2=4,.•・++*+击$8（当且仅当a=b=舟时等号成立）.(2)法一：・・1>0,b>0,a+b=lf・・・1+糸1+宁=2+号，同理出=2+务.
6、1+1
7、
8、1+
9、
10、=
11、2+-
12、
13、2+7=5+2^+驚5+4=9,・・.（1++）（1+*）29（当且仅当a=b=^时等号成立）.法二：1+：丨1+£
14、=1+++1+2kci丿由⑴知，出+知,故（1+弘+另=1+出+爲邛.
15、【类题通法】lfl"的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形.2.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到.【对点训练】设a,b均为正实数，求证：++*+"22辺.I解析］证明：由于a,b均为正实数，所以寺+弘刃出不二寻，当且仅当即a=b时等号成立，又因为寻+鳩21寻血=2也,2当且仅当矿ab
16、时等号成立，I12所以孑乔応，当且仅当S即a=b=第时取等号.考点三、基本不等式的实际应用【例31运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50WxW100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小吋耗油(2+話6)升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当兀为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.130［解析］(1)设所用时间为r=—(h),X13()(x2130)=〒X2X(2+而J+14X匸，A-e［50,100］.所以这
17、次行车总费用丿关于X的表达式是130X18(2X130尸―用[50,100].(或尸譽+律，炸［50,100］).(2》=型严+豁妙26VT5,当且仅当130X182X130~x-=360•即x=18*/w,等号成立.故当x=18Vl0千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26^10元.【类题通法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2•根据实际问题抽象出函
