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《2018高考数学考点突破——不等式、推理与证明：数学归纳法及其应用+含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数学归纳法及其应用【考点梳理】1擞学归纳法证明一个与正整数门有关的命题，可按下列步骤进行：⑴(归纳奠基)证明当n取第一个值也他丘“)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k^nOfk^N*)时命题成立，证明当/?=k+：L时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从门。开始的所有正整数n都成立.2.数学归纳法的框图表示【考点突破】考点一、用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：1111n*2X4+4X6+6X8H2n(2n+2)=4(n+1)GN)，[解析]证明：⑴当n=l时,、11左边=2X1X(2X1+2)=8'f11右边=4(1+1)=8^左边=右边，所以等式成立.
2、(2)假设n=/c(keNW等式成立，即有1111k++~P=2X44X66X82k(2k+2)4(k+1)1111则当n=k+1时'丙+五+岚+…+2k(2k+2)+2(k+1)[2(k+1)+2]k1k(k+2)+1=4(k+1)+4(k+2)(k+2)=4(k+1)(k+2)(k+1)2k+ik+l=4(k+1)~~(k+2)=4(k+2)=4(k+1+1)*所以当n=k+1吋，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切用N*等式都成立.【类题通法】:L・用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项，初始值门。是多少.2.由n=k时等式成立，推出
3、n=k+1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【对点训练】求证：(n+l)(n+2)(n+n)=2n•1•3•5(2n—l)(n^N*).［解析］证明：(1)当n=l吋，等式左边=2,右边=2,故等式成立；(2)假设当G=k(kWN*)时等式成立，即(k+l)(k+2)••…(k+k)=2k•1•3•5(2k~l)9那么当时，左边=(k+1+l)(k+2+2)(k+l+k+1)=(k+2)伙+3)(k+k)(2k+l)(2k+2)=2k•1•3•5(2k~l)(2k+lY2=
4、2k+1•1•3•5(2k-l)(2k+l),所以当n=k+l时等式也成立.根据(1)(2)可知，对所有等式成立.考点二、用数学归纳法证明不等式【例2】等比数列｛為｝的前〃项和为S”.已知对任意的n^N*,点(弘SJ均在函数y=bx+fb>0,且/#1,b,厂均为常数)的图象上.⑴求厂的值；(2)当b=2时,记bn=2(log2an+l)(n^N*).证明：对任意的门丘N*,不等式+1成立.［解析］⑴解由题意，Sn=bn+r,当门$2时，Sn-^b^+r,所以an=Sn—Sn-i=bnl(b—l),由于b>0,且bS所以n22时，仙｝是以b为公比的等比数列，又s=b+厂，a2=b(b—l
5、),2=b，即&(U=b,解得厂=—1.⑵证明由⑴知6=2"-1,因此bn=2n(n^N),所证不等式为2+14+12门+1I2*42n>Nn+1'o①当n=l时，左式=亍，右式=迈,左式〉右式，所以结论成立.2+14+1②假设n=k时结论成立，即—2k+l2k则当n=k+l时,2k+l2k2k+32(k+2)>[k+l•2k+32(k+l)2k+32pk+l'要证当n=k+l时结论成立,nte十2k+3/只需证尹1上庐'即证2k+32上寸(k+1)由基本不等式可得a+1)ta+2)(k+2)成立，,所以当n=k+l时，结论成立.根据①②可知，门丘“时,不等式屮他+1bib”+1bn>y
6、［n匚1成立.【类题通法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题1.当遇到与正整数门有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k敢立，推证n=k+时也成立,证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.【对点训练】111*求证：亍+亍+…+门+亍vln(n+l),门EN.1［解析］证明：①当门=1时，2结论成立.111②假设当n=k(k^l,k^N*)吋结论成立，即亍+亍鸟+十巾伙+"・那么，当〃=k+l时，11111亍+亍+・・・+书+吊<山伙+1)+书.—…1下面证
7、明In(k+l)+k+20),x则f(X)=(1+x)2>0,・・・f(x)在(0,+oo)上递增,・・J(x)才(0)=0,・・・^>0,k+1丿k+11+k+illnk+21即山书-右611.■.In伙+2)—In伙+1)—£+2>0,即In伙+1)+鸟+2<"伙+2)./.当n=k+l时,不等式也成立.根据①②可知，£+*”；1),兄WN*成立.考点三、归纳一
