2019高考数学考点突破——推理与证明：数学归纳法学案.doc

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1、数学归纳法【考点梳理】1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2．数学归纳法的框图表示【考点突破】考点一、用数学归纳法证明等式【例1】设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．[解析](1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边

2、＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．【类题通法】1．明确“2思路”(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式

3、两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．2．记牢“4句话”两个步骤要做到，递推基础不可少；归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．【对点训练】用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.[解析](1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)

4、k－1·.那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k·.∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.考点二、用数学归纳法证明不等式【例2】设实数c>0，整数p>1，n∈N*.证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.[解析]①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设p＝k(k≥2，k∈N*)

5、时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．【类题通法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法

6、、构造函数法等证明方法.【对点训练】求证：＋＋…＋0)，则f′(x)＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上递增，∴f(x)>f(0)＝0，∵>0，∴f>0，即ln－>0，即ln－>0，∴ln(k＋2)－ln(k＋1)－>0，即ln(k＋1)＋

7、可知，＋＋…＋0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明(1)中的猜想.[解析](1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0).当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.∴a2＝－(a2>0).同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*).(2)①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)

8、时，通项公式成立，即ak