2019高考数学 考点突破——推理与证明：直接证明与间接证明学案

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1、直接证明与间接证明【考点梳理】1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因框图表示→→…→→→…→书写格式因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．【考点突破】考点一、综合法【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已

2、知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列．(2)若C＝，求证：5a＝3b.[解析](1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.【类题通法】掌握综合法证明问题的思路【对点训练】已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，

3、an，am成等比数列．[解析](1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．考点二、分析法【例2】已知a>0，求证：－≥a＋－2.[解析]要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.因为a>0，故只需要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只需要证2≥，只需要证

4、4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.【类题通法】1．利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．【对点训练】若a，b∈(1，＋∞)，证明<.[解析]要证<，只需证()2<()2，只需证a＋b－1－ab<0，即证(a－1)(1－b)<0.

5、因为a>1，b>1，所以a－1>0，1－b<0，即(a－1)(1－b)<0成立，所以原不等式成立．考点三、反证法【例3】(1)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实数根”时，假设为(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实数根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实数根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实数根(2)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.[答案](1)A[解析](1)“至少有一个实数根”的否定是“一个实数根也没有”，即“没有实数根”．(2)假设a

6、，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.【类题通法】1．反证法证明问题的3步骤2．反证法的适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．【对点训练】1．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，

7、a

8、＋

9、b

10、<1，求证方程x2＋ax

11、＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

12、x1

13、≥1.以下正确的是(　　)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确[答案]D[解析]反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.2．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不