2019版高考数学复习推理与证明11.2直接证明与间接证明讲义

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1、§11.2　直接证明与间接证明考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.直接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题★★★2.间接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题★★★分析解读　　本节内容江苏高考一般很少单独考查,一般都和其他知识相结合,放在不同的解答题中考查其运用.五年高考考点一　直接证明1.(2013广东理,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;

2、(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.解析　(1)依题意,得2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n≥2时,2Sn=nan+1-n3-n2-n,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即-=1,又-=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n2.(3)证明:当n=1时,=1<;当n=2时,+=1+=<;当n

3、≥3时,=<=-,此时++…+=1++++…+<1++++…+=1++-=-<.综上,对一切正整数n,有++…+<.教师用书专用(2)2.(2013湖北理,22,14分)设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;(2)证明:

4、r-(r+1)=(r+1)[(1+x)r-1],令f'(x)=0,解得x=0.当-10时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.(2)证明:由(1)知,当x∈(-1,+∞)时,有f(x)≥f(0)=0,即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,故当x>-1且x≠0时,有(1+x)r+1>1+(r+1)x.①在①中,令x=(这时x>-1且x≠0),得>1+.上式两边同乘nr+1,

5、得(n+1)r+1>nr+1+nr(r+1),即nr<.②当n>1时,在①中令x=-(这时x>-1且x≠0),类似可得nr>.③且当n=1时,③也成立.综合②,③得

6、014山东改编,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是　　　　. 答案　方程x3+ax+b=0没有实根2.(2013北京理,19,14分)已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.解析　(1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代

7、入椭圆方程得+m2=1,即m=±.所以菱形OABC的面积是

8、OB

9、·

10、AC

11、=×2×2

12、m

13、=.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-,=k·+m=.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-.因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.三

14、年模拟A组　2016—2018年模拟·基础题组考点一　直接证明1.(2018江苏淮安高级中学阶段测试)已知函数f(x)=ex,x∈R.(1)设x>0,判断函数g(x)=f(x)-mx零点的个数;(2)设a