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时间:2020-06-20
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1、第二章2.2直接证明与间接证明一、选择题1、有下列叙述:①“a>b”的反面是“ay或x0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、若实数a,b满足02、3、均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a,b,c中至少有一个大于0.10、如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)11、如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.12、△ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列.求证:B<90°.以下是答案一、选择题1、B [①错,应为a≤b;②对;4、③错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;④错,应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.]2、C3、B [∵·>0,∴A为锐角,但B、C不确定.]4、C [∵a+b=1,a+b>2,∴2ab<,由a2+b2>=,又∵05、的周长都为a,依题意圆的面积S1=π2,正方形的面积S2=2.要比较S1与S2的大小,只需比较与的大小,因为π<4,所以圆的面积S1比正方形的面积S2大.8、an=(-1)n(答案不惟一)解析 设等比数列公比为q,首项为a1,由ar=as,得a1qr-1=a1qs-1,即qr-s=1.∵r≠s,∴r-s≠0.又q≠1,∴q=-1,则数列{an}可以为an=(-1)n.三、解答题9、证明 假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0.而a+b+c=++=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.所以a6、+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.10、AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)11、证明 (1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.12、证明 由题意知=+,∴b(a+c)=2ac.∵7、cosB=≥=1-=1-=1-,又△ABC三边长a、b、c满足a+c>b,∴<1.∴1->0.∴cosB>0,即B<90°.
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3、均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a,b,c中至少有一个大于0.10、如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)11、如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.12、△ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列.求证:B<90°.以下是答案一、选择题1、B [①错,应为a≤b;②对;
4、③错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;④错,应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.]2、C3、B [∵·>0,∴A为锐角,但B、C不确定.]4、C [∵a+b=1,a+b>2,∴2ab<,由a2+b2>=,又∵05、的周长都为a,依题意圆的面积S1=π2,正方形的面积S2=2.要比较S1与S2的大小,只需比较与的大小,因为π<4,所以圆的面积S1比正方形的面积S2大.8、an=(-1)n(答案不惟一)解析 设等比数列公比为q,首项为a1,由ar=as,得a1qr-1=a1qs-1,即qr-s=1.∵r≠s,∴r-s≠0.又q≠1,∴q=-1,则数列{an}可以为an=(-1)n.三、解答题9、证明 假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0.而a+b+c=++=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.所以a6、+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.10、AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)11、证明 (1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.12、证明 由题意知=+,∴b(a+c)=2ac.∵7、cosB=≥=1-=1-=1-,又△ABC三边长a、b、c满足a+c>b,∴<1.∴1->0.∴cosB>0,即B<90°.
5、的周长都为a,依题意圆的面积S1=π2,正方形的面积S2=2.要比较S1与S2的大小,只需比较与的大小,因为π<4,所以圆的面积S1比正方形的面积S2大.8、an=(-1)n(答案不惟一)解析 设等比数列公比为q,首项为a1,由ar=as,得a1qr-1=a1qs-1,即qr-s=1.∵r≠s,∴r-s≠0.又q≠1,∴q=-1,则数列{an}可以为an=(-1)n.三、解答题9、证明 假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0.而a+b+c=++=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.所以a
6、+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.10、AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)11、证明 (1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.12、证明 由题意知=+,∴b(a+c)=2ac.∵
7、cosB=≥=1-=1-=1-,又△ABC三边长a、b、c满足a+c>b,∴<1.∴1->0.∴cosB>0,即B<90°.
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