高考数学复习好题精选 直接证明与间接证明

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1、直接证明与间接证明题组一综合法的应用1.(·青岛模拟)已知函数f(x)＝()x，a，b∈R＋，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为(　　)A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：≥≥，又f(x)＝()x在R上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．答案：A2．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是(　　)A．f(2.5)f(1)>f(3.5)C．f

2、(3.5)>f(2.5)>f(1)D．f(1)>f(3.5)>f(2.5)解析：因为函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，所以x＝2是对称轴，在(2,4)上为减函数，由图象知f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：B3．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．证明：A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：∵＋＝，∴＋＝3，∴＋＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋

3、b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，∵0°＜B＜180°　∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝1∴A、B、C成等差数列．题组二分析法的应用4.若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是(　　)A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定解析：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a＋7＋2＜2a＋7＋2，只要证：a2＋7a＜a2＋7a＋12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．答案：C5．设a，b均为正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋a

4、b2.证明：法一：(分析法)要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又因为a＋b＞0，只需证a2－ab＋b2＞ab成立．又需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立，由此命题得证．法二：(综合法)a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.(*)而a，b均为正数，∴a＋b＞0，由(*)式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，∴a3＋b3＞a2b＋

5、ab2.题组三反证法的应用6.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是(　　)A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数解析：“至少有一个”的否定“都不是”．答案：B7．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2解析：假设a＋，b＋，c＋都小于或等于－2，即a＋≤

6、－2，b＋≤－2，c＋≤－2，将三式相加，得a＋＋b＋＋c＋≤－6，又因为a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，三式相加，得a＋＋b＋＋c＋≤－6，所以a＋＋b＋＋c＋≤－6成立．答案：C8．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈，都有

7、f(x1)－f(x2)

8、<

9、x1－x2

10、，求证：

11、f(x1)－f(x2)

12、<.那么他的反设应该是________．解析：该命题为全称命题，其否定为特称命题．答案：“存在x1，x2∈，使得

13、f(x1)－f(x2)

14、

15、<

16、x1－x2

17、且

18、f(x1)－f(x2)

19、≥”9．已知a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.上述三个同向不等式相加得，4b

20、2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．题组四直接证明与间接证明的综合应用10.设a，b，c，d∈(0，＋∞)，若a＋d＝b＋c且

21、a－d

22、<

23、b－c

24、，则有(　　)A．ad＝bcB．ad