（新课标）2020版高考数学总复习第一节坐标系练习文新人教A版选修4_4.docx

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1、第一节　坐标系A组　基础题组1.在极坐标系中,圆C是以点C2,-π6为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求圆C被直线l:θ=-5π12(ρ∈R)截得的弦长.解析　解法一:(1)如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M(ρ,θ),在Rt△OAM中,∠OMA=π2,∠AOM=2π-θ-π6,

2、OA

3、=4.因为cos∠AOM=

4、OM

5、

6、OA

7、,所以

8、OM

9、=

10、OA

11、·cos∠AOM,即ρ=4cos2π-θ-π6=4cosθ+π6,验证可知,极点O与A4,-π6的极坐标也满足方程,故圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ+π6.(2)易知l过点O,设l

12、:θ=-5π12(ρ∈R)交圆C于另一点P,连接PA,在Rt△OAP中,∠OPA=π2,易得∠AOP=π4,所以

13、OP

14、=

15、OA

16、cos∠AOP=22.解法二:(1)圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ+π6.(2)将θ=-5π12代入圆C的极坐标方程ρ=4cosθ+π6,得ρ=22,所以圆C被直线l:θ=-5π12(ρ∈R)截得的弦长为22.2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0(a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:

17、ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为直角坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析　(1)将C1的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ.若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(

18、舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.3.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)求出圆C的直角坐标方程;(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l'.若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.解析　(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,即x2+y2-4x=0,故圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.(2)l:y=2x关于点M(0,m)对称的直线l'的方程为y=2

19、x+2m,而AB为圆C的直径,故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,故

20、4+2m

21、5≤2,解得-2-5≤m≤5-2,于是,实数m的最大值为5-2.B组　提升题组1.(2018湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M(-2,-4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与C交于A,B两点,且

22、MA

23、·

24、MB

25、=40,求倾斜角α的值.解析　(1)直线l的参数方程为

26、x=-2+tcosα,y=-4+tsinα(t为参数),ρsin2θ=2cosθ,即ρ2sin2θ=2ρcosθ,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-(2cosα+8sinα)t+20=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由一元二次方程根与系数的关系得,t1+t2=2cosα+8sinαsin2α,t1t2=20sin2α,根据直线的参数方程中参数的几何意义,得

27、MA

28、·

29、MB

30、=

31、t1t2

32、=20sin2α=40,得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cosα

33、+8sinα)2-80sin2α>0,所以α=π4.2.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ(φ为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=π3与曲线C2交于点D2,π3.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知极坐标系中两点A(ρ1,θ0),Bρ2,θ0+π2,若A、B都在曲线C1上,求1ρ12+1ρ22的值.解析　(1)因为C1的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ,所以C1的普通方程为x24+y2=1.由题意设曲线C2的极坐标方程为ρ=

34、2a·cosθ(a为半径),将D2,π3代入,得2=2a×12,所以a=2,所以