2018年高考数学（浙江专用）总复习教师用书：第4章 第7讲　解三角形应用举例 含解析

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1、第7讲　解三角形应用举例最新考纲　能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知识梳理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角【如图1】.2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α【如图2】.3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】东北方向就是北偏东45°的方向.【　　

2、】【2】从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.【　　】【3】俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.【　　】【4】方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.【　　】解析　【2】α＝β.【3】俯角是视线与水平线所构成的角.答案　【1】√　【2】×　【3】×　【4】√2.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的【　　】A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°解析　如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝3

3、0°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案　B3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为【精确到0.1km，参考数据：≈1.732】【　　】A.11.4kmB.6.6kmC.6.5kmD.5.6km解析　∵AB＝1000×＝【km】，∴BC＝·sin30°＝【km】.∴航线离山顶h＝×sin75°＝×sin【45°＋30°】≈11.4【km】.∴山高为18－11.4＝6.6【km】.答

4、案　B4.【必修5P11例1改编】如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为【　　】A.B.C.D.解析　在△ABC中，∠ABC＝π－【α＋β】，AC＝m，由正弦定理，得＝，所以AB＝＝.答案　C5.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是______nmile.解析　设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×5

5、0×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.答案　706.【2017·湖州调研】一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海上有一走私船正以10nmile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜，若缉私艇的速度为14nmile/h，缉私艇沿北偏东45°＋α的方向追去，若要在最短的时间内追上走私船，则追上所需的时间为________h，α角的正弦值为________.解析　如图所示，A，C分别表示缉私艇、走私船的位置，设经x小时后在B处追上走私船.则AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得【14x

6、】2＝122＋【10x】2－240·x·cos120°，解得x＝2.故AB＝28，sinα＝＝，即所需时间为2小时，sinα＝.答案　2　考点一　测量高度问题【例1】【2015·湖北卷】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300【m】.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝

7、BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100【m】.答案　100规律方法　【1】在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角【它是在铅垂面上所成的角】、方向【位】角【它是在水平面上所成的角】是关键.【2】在实际问题中，可能会遇到空间与平面【地面】同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.【3】注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练1】【2017·郑州一中月考】如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.解　由

8、已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC