2018年高考数学（浙江专用）总复习教师用书：第7章 第5讲　直接证明与间接证明 含解析

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1、第5讲　直接证明与间接证明最新考纲　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件【已知条件、定理、定义、公理等】为止实质由因导果执果索因框图表示→→…→→→…→文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……2.间接证明间接证明是不同

2、于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.【1】反证法的定义：假设原命题不成立【即在原命题的条件下，结论不成立】，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.【2】用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.【　　】【2】用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a

3、出矛盾.【　　】【4】在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.【　　】解析　【1】分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件.【2】应假设“a≤b”.【3】反证法只否定结论.答案　【1】×　【2】×　【3】×　【4】√2.要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明【　　】A.2ab－1－a2b2≤0B.a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D.【a2－1】【b2－1】≥0解析　a2＋b2－1－a2b2≤0⇔【a2－1】【b2－1】≥0.答案　D3.若a，b，c为实数，且a

4、>ab>b2C.解析　a2－ab＝a【a－b】，∵a0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b【a－b】>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.答案　B4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是【　　】A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析　因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3

5、＋ax＋b＝0没有实根”.答案　A5.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________.解析　由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即【a－c】2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形.答案　等边三角形6.【2017·绍兴检测】完成反证法证题的全过程.设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝【a1－1】·【a2－2】·…·【a7－7】为偶数

6、.证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝____________＝____________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数.解析　∵a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，∴【a1－1】＋【a2－2】＋…＋【a7－7】也为奇数，即【a1＋a2＋…＋a7】－【1＋2＋…＋7】为奇数.又∵a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0，∴奇数＝【a1－1】＋【a2－2】＋…＋【a7－7】＝【a1＋a2＋…＋a7】－【1＋2＋…＋7】＝0.答案　【a1－1】＋【a2－2】＋

7、…＋【a7－7】　【a1＋a2＋…＋a7】－【1＋2＋…＋7】考点一　综合法的应用【例1】【2017·东北三省三校模拟】已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：【1】＋＋≤；【2】＋＋≥.证明　【1】∵【＋＋】2＝【a＋b＋c】＋2＋2＋2≤【a＋b＋c】＋【a＋b】＋【b＋c】＋【c＋a】＝3，∴＋＋≤.【2】∵a＞0，∴3a＋1＞0，∴＋【3a＋1】≥2＝4，∴≥3－3a，同理得≥3－3b，≥3－3c，以上三式相加得4≥9－3【a＋b＋c