2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书:第7章 第3讲 等比数列及其前n项和 含解析

2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书:第7章 第3讲 等比数列及其前n项和 含解析

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1、第3讲 等比数列及其前n项和最新考纲 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的概念【1】如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q【q≠0】表示.数学语言表达式:=q【n≥2,q为非零常数】,或=q【n∈N*,q为非零常数】.【2】如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,其中

2、G=±.2.等比数列的通项公式及前n项和公式【1】若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;通项公式的推广:an=amqn-m.【2】等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.【1】若k+l=m+n【k,l,m,n∈N*】,则有ak·al=am·an.【2】等比数列{an}的单调性:当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an

3、}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列.【3】相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.【4】当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】与等差数列类似,等比数列的各项可以是任意一个实数.【  】【2】公比q是任意一个常数,它可以是任意实数.【  】【3】三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.【  】【4】数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为S

4、n=.【  】【5】数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.【  】解析 【1】在等比数列中,an≠0.【2】在等比数列中,q≠0.【3】若a=0,b=0,c=0满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列.【4】当a=1时,Sn=na.【5】若a1=1,q=-1,则S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,不成等比数列.答案 【1】× 【2】× 【3】× 【4】× 【5】×2.【2017·太原模拟】在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=【  】A.2B.4C.D.2解析 在等比数列

5、{an}中,a2a4=a=1,又a2+a4=,数列{an}为递减数列,所以a2=2,a4=,所以q2==,所以q=,a1==4.答案 B3.【2017·湖北省七市考试】公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为【  】A.8B.9C.10D.11解析 由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∴a1am=a5a6=9,∴m=10,故选C.答案 C4.【2015·全国Ⅰ卷】在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.解析 由an+

6、1=2an,知数列{an}是以a1=2为首项,公比q=2的等比数列,由Sn==126,解得n=6.答案 65.【2015·广东卷】若a,b,c三个正数成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b的值为________.解析 ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.即b2=【5+2】【5-2】=1,又b>0,∴b=1.答案 16.【2016·浙江卷】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.解析 由解得a1=1,a2=3,当n≥2时,由已知可得:an+1=2

7、Sn+1,①an=2Sn-1+1,②①-②得an+1-an=2an,∴an+1=3an,又a2=3a1,∴{an}是以a1=1为首项,公比q=3的等比数列.∴S5==121.答案 1 121考点一 等比数列基本量的运算【例1】【1】设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于【  】A.B.C.D.【2】【2016·全国Ⅰ卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.解析 【1】显然公比q≠1,由题意得解得或【舍去】,∴S5===.【2】设等

8、比数列{an}的公比为q,∴⇒解得∴a1a2…an=aq1+2+…+【n-1】=2-+.记t=-+=-【n2-7n】,结合n∈N*,可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数.所以a1a2…an的最

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