2018年高考数学（浙江专用）总复习教师用书：第10章 第3讲　二项式定理 含解析

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1、第3讲　二项式定理最新考纲　1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理【1】二项式定理：【a＋b】n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn【n∈N*】；【2】通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；【3】二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C增减性二项式系数C当k＜【n∈N*】时，是递增的当k＞【n∈N*】时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项

2、与取最大值3.各二项式系数和【1】【a＋b】n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.【2】偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】Can－kbk是二项展开式的第k项.【　　】【2】二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.【　　】【3】【a＋b】n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.【　　】【4】【a＋b】n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.【　　】解析　二项式展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数

3、最大的项为中间一项或中间两项，故【1】【2】均不正确.答案　【1】×　【2】×　【3】√　【4】√2.【x－y】n的二项展开式中，第m项的系数是【　　】A.CB.CC.CD.【－1】m－1C解析　【x－y】n展开式中第m项的系数为C【－1】m－1.答案　D3.【选修2－3P35练习T1【3】改编】的值为【　　】A.2B.4C.2017D.2016×2017解析　原式＝＝22＝4.答案　B4.【2017·瑞安市质检】的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.解析　展开式通项为Tr＋1＝Cx2【9－r】＝【－1】rCx18－3r【其中r

4、＝0，1，…，9】∴T4＝【－1】3Cx9，故第4项的二项式系数为C＝84，第4项的系数为【－1】3C＝－.答案　84　－5.【2017·石家庄调研】【1＋x】n的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.解析　【1＋x】n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋1＝6，n＝10.答案　106.展开式中的常数项为________.解析　Tk＋1＝C【x2】5－k＝C【－2】kx10－5k.令10－5k＝0，则k＝2.∴常数项为T3＝C【－2】2＝40.答案　40考点一　求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.

5、【1】求n；【2】求含x2的项的系数；【3】求展开式中所有的有理项.解　【1】通项公式为Tk＋1＝Cxx－＝Cx.因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.【2】令＝2，得k＝2，故含x2的项的系数是C＝.【3】根据通项公式，由题意令＝r【r∈Z】，则10－2k＝3r，k＝5－r，∵k∈N，∴r应为偶数.∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.规律方法　【1】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件【特定项】和通项公式，建立方程来确定指数【求解时要注意二项式系数

6、中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等】；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.【2】求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【训练1】【1】【2015·全国Ⅰ卷】【x2＋x＋y】5的展开式中，x5y2的系数为【　　】A.10B.20C.30D.60【2】【2016·全国Ⅰ卷】【2x＋】5的展开式中，x3的系数是________【用数字作答】.【3】【2014·全国Ⅰ卷】【x－y】【x＋y】8的展开式中x2y7的系数为________【用数字作答】.解析　【1】法一　【x2＋x＋y】5＝[【x2＋

7、x】＋y]5，含y2的项为T3＝C【x2＋x】3·y2.其中【x2＋x】3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.法二　【x2＋x＋y】5表示5个x2＋x＋y之积.∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为CCC＝30.【2】由【2x＋】5得Tr＋1＝C【2x】5－r【】r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.【3】【x－y】【x＋y】8＝x【x＋y】8－y【x＋y】8，∵x【x＋y】8中含x2y7的项为x·Cxy7，y【x＋y】8中含x2