【浙江专用】2020年高考数学总复习教师用书 第7章 第2讲　等差数列及其前n项和.doc

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1、第2讲　等差数列及其前n项和最新考纲　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A

2、＝.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项).3.等差数列的有关性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}

3、是常数列.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.4.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).5.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2

4、.(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)(3)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(　　)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)解析　(4)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(5)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×2.(2015·重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)A.－1

5、B.0C.1D.6解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.答案　B3.(2017·长沙模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3，S5＝15，则a2016＝________.解析　在等差数列{an}中，由S3＝2a3知，3a2＝2a3，而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2016＝2016.答案　20164.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为______.解析　由题意知d＜0且即解得－1＜

6、d＜－.答案　5.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.答案　1806.(2017·金华四校联考)设等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c(b，c为常数，n∈N*)，若a2＋a3＝4，则c＝________，b＝________.解析　∵数列{an}是等差数列，且前n项和Sn＝n2＋bn＋c，∴c＝0，则Sn＝n2＋bn，又a2＋a3＝S3－S1＝

7、9＋3b－1－b＝4，∴b＝－2.答案　0　－2考点一　等差数列基本量的运算【例1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A.100B.99C.98D.97(2)(2016·唐山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.(2)法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得解得即S6＝6a1＋15d＝30.法二　由{a

8、n}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12可得解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.