工程力学-材料力学-第15章 虚位移原理(邱清水).ppt

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1、第十五章虚位移原理15.1质点系的自由度·约束及约束的分类15.2虚位移与虚功15.3虚位移原理15.1质点系的自由度·约束及约束的分类1．质点系的自由度描述一个质点在空间中的位置须用三个独立坐标来决定，在直角坐标系中这三个坐标是x、y、z，当这个质点运动时，这三个坐标数值可随时而变，这样就说这个质点具有三个自由度（即确定物体位置的独立坐标数目）。若质点系中所有的质点都可以不受任何限制地在空间中作自由运动，则这样的质点系称为自由质点系。在实际工程中，所需处理的质点系往往是非自由的，即质点系中的质点因受一定的限制而不能自由运动，这样的质点系称为非自由质点系。15.1质点系

2、的自由度·约束及约束的分类2．约束及约束方程非自由质点系的质点在运动过程中，其位置或位移必须服从某些预先规定的限制条件，这些限制条件称为非自由质点系的约束，若将这些限制条件以数学方程来表示则称为约束方程。如右图所示平面单摆，其中质点M可绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆杆长为l。则单摆在运动过程中质点M的轨迹是以O为圆心，l为半径的圆弧，若以x，y表示质点M的坐标，则其约束方程可表示为15.1质点系的自由度·约束及约束的分类又如，在上图所示的曲柄连杆机构中，铰链A受曲柄OA的限制而绕O作圆周运动，滑块B受滑道限制而作水平运动，连杆AB长度不变。因此这三者的约束方程依次为1

3、5.1质点系的自由度·约束及约束的分类3．约束的分类根据不同的约束形式，可对约束进行分类。1)几何约束与运动约束限制质点或质点系在空间中的几何位置的条件称为几何约束15.1质点系的自由度·约束及约束的分类当质点系运动时受到的某些运动条件的限制称为运动约束。15.1质点系的自由度·约束及约束的分类2)定常约束与非定常约束约束的性质不随时间而变的约束称为定常约束，在定常约束的约束方程中不显含时间t。前述质点系的约束皆不随时间变化，它们都是均为定常约束。约束的性质随时间而变的约束称为非定常约束，在非定常约束的约束方程中显含时间t。15.1质点系的自由度·约束及约束的分类3)双

4、面约束与单面约束约束方程可表示成等式的约束称为双面约束。约束方程只能表示成不等式的约束称为单面约束。BByxOyxO15.1质点系的自由度·约束及约束的分类4)完整约束与非完整约束几何约束和可积分的运动约束称为完整约束。若运动约束不可积分为有限形式，则称为非完整约束。COyxvCC*圆轮所受约束为完整约束。15.1质点系的自由度·约束及约束的分类4．广义坐标具有n个质点的自由质点系共有3n个自由度，若质点系受s个完整约束，则其自由度的数目为k=3n-s即需要3n-s个独立参数来完全确定该质点系的位置。通常在工程实际中，质点系的质点和约束的数目比较多，自由度的数目比较少，

5、因此质点系的位置若用3n个直角坐标和s个约束方程来表示很不方便；但是适当地选择k个相互独立的参变量表示质点系的位置就比较方便，这样选择的表示质点系位置的独立参变量称为质点系的广义坐标。15.1质点系的自由度·约束及约束的分类如图所示曲柄连杆机构，为确定铰A和滑块B的位置可选取曲柄OA与x轴的夹角θ为广义坐标，则铰A和滑块B的位置可表示为广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移也可以取角位移。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。15.1质点系的自由度·约束及约束的分类一般地，设有由n个质点组成的非自由质点系的位置可由k个广义坐标来确定，则质点系内各质点

6、的坐标可表为广义坐标的函数，即一旦确定了质点系的广义坐标，则也隐含地描述了质点系的几何约束方程。15.2虚位移与虚功1．虚位移虚位移：是指在某瞬时，质点系在约束所容许的条件下，可能实现的任意无限小的位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移。如下图所示的杠杆AB，如令杆绕Ｏ轴转动微小角度δj，则AB上任一点的位移就是虚位移；如δrA，δrB等。15.2虚位移与虚功下图所示的曲柄连杆机构，曲柄OA绕O轴转动的微小角度δj，以及滑块和连杆上任一点的位移都是虚位移，如δrA，δrB等。15.2虚位移与虚功虚位移与真实位移（简称实位移）是不同的概念①实

7、位移是质点系在一定的力作用下和给定的初始条件下运动而实际发生的；虚位移则是在约束所容许的条件下可能发生的。②实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。③实位移是在一定的时间内发生的；虚位移则只是纯几何的概念，与时间无关，静止的质点系没有实位移，但可有虚位移。④在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一；而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。15.2虚位移与虚功受定常约束的非自由质点系中各质点的虚位移之间往往存在着一定的关系,确定这些关系通常有如下两种方法。1）几何法：在