工程力学 第23章 虚位移原理(1)

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1、范钦珊教育教学工作室FANQin-Shan’sEducation&TeachingStudioeBook工程力学(2)学习指导（第23章）2003-7-11第四篇工程动力学第23章虚位移原理工程静力学研究物体或物体系统处于平衡状态时，作用在物体或物体系统上的所有外力（包括全部约束力）之间的相互关系。虚位移原理则是应用能量的概念研究受力物体或物体系统的平衡的普遍规律，不仅可以得到物体或物体系统的平衡条件和平衡方程，而且还能判别平衡的稳定性。虚位移原理所采用的数学方法不同于工程静力学中的方法。一、教学要求与学习目标1．认真理解并且掌握约束、广义坐标与自由度、理想约束的概念。约束分类

2、中，主要掌握完整、定常、双侧约束。对于非完整、非定常、单侧约束只要求有所了解。2．认真理解虚位移的概念，以及什么样的位移才能作为虚位移。3、认真理解虚位移原理的建立过程，虚位移原理的表述。4、正确应用虚位移原理分析和处理具有1—2个自由度系统的平衡问题(确定平衡位置)、主动力之间关系、外约束力与内约束力的三类静力学问题。二、理论要点1、约束定义的扩展l约束与约束方程工程静力学中，约束定义为对物体运动预加限制的其他物体。现在为了用分析的方法研究物体的平衡规律，必须将约束分析化，也就是用数学表达式描述约束。这时，约束对物体运动预加的限制条件，将被表示为2fa(ri)=0（i=1,2

3、,L,n）；（a=1,2,L,s）或fa(xi,yi,zi)=0式中，ri为质点系中第i个质点的位矢，ri=(xi,yi,zi)；a为约束数。l约束的另一种分类定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间t的约束，称为定常约束，即fa(ri)=0i=1,L,n，a=1,L,s约束方程中显含时间t的约束，称为非定常约束，即fa(ri,t)=0i=1,L,n，a=1,L,s双侧约束与单侧约束约束方程可以写成等式的约束，称为双侧约束，即fa(ri)=0i=1,L,n，a=1,L,s约束方程不能写成等式、只能写成不等式的约束，称为单侧约束，即fa(ri)£0或fa(ri)³0i=1,L,n

4、，a=1,L,s完整约束与非完整约束约束方程中无论包含质点速度，还是不包含质点速度，即fa(ri)=0和fa(ri,r&i)=0i=1,L,n，a=1,L,s3只要约束方程可以积分，这种约束便称为完整约束。约束方程中包含质点速度，即fa(ri,r&i)=0i=1,L,n，a=1,L,s而且约束方程不可积分，这种约束则称为非完整约束。2、广义坐标与自由度唯一确定质点系在空间位置或构形的独立坐标称为广义坐标，记为q。广义坐标必须是独立变量；它可以是线坐标、角坐标或其他形式的坐标。广义坐标形式的选择不是唯一的，需要由问题的性质与求解问题的难易程度而定。对于完整约束系统，广义坐标个数称

5、为该系统的自由度。如果完整约束系统由1,2,L,n个质点组成，加有s个完整约束，则系统的自由度，亦即广义坐标个数为N=3n-s该式表明，研究由n个质点组成的系统时，一般用3n个直角坐标确定它的位置，但由于系统还受有完整约束，这3n个直角坐标不是完全独立的。广义坐标的引入，将确定位置的坐标数目减少到最小，也就是使描述力学系统的数学方程数目尽可能地少。而描述力学系统的数学方程数目，对于静力学就是平衡方程的数目；对于动力学就是运动微分方程数目。3、虚位移与虚功l虚位移在给定瞬时，质点（或质点系）符合约束的任何无限小位移称为该质点（或质点系）的虚位移，记作d=r,in12,,,L。虚位

6、移dr与实位移dr既有区别，又有联iii系。二者都要符合约束条件，即约束所许可。但是，dr是在一定主动力作用、i一定起始条件下和一定的时间间隔dt内发生的位移，其方向是唯一的；而dr则i4不涉及有无主动力，也与起始条件无关，是假想发生、而实际并未发生的位移，所以它不需经历时间过程，其方向至少有两组，甚至有无穷多组。应该说明，虚位移记号“d”是数学的上变分符号。变分运算与微分运算相类似。质点系（包括刚体）的虚位移也可表示成广义坐标的变分d=q(jN12,,,L)j的关系，dqj称为广义虚位移。对于质点系统，广义坐标qj是独立变量。对完整约束系统，d=q,jN12,,,L是独立的虚

7、位移。jl虚功力在相应虚位移所作的功称为虚功，用δW表示。虚功与实功的计算方法相类似。力F在虚位移δr所作的虚功为d=WFr×d；力系Fi(i=1,2,L,n)中所有的力在各自作用点的虚位移上所作的虚功之和为nnåådWi=Frii×dii==11与力偶M对应的虚位移是虚角位移，用dq表示;相应的虚功d=dWMq。对于平面力偶系M(r=1,2,L,m),各力偶在各自的虚角位移dq上所作之虚功之和rr为mmdWM=dqååjjjjj==11式中，dq为与M相对应的对于定坐标系的虚角位移，即绝对