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1、建立平衡方程求解系统静力学问题，属于矢量力学的方法。矢量力学的方法，直观、物理意义明确、计算规范，在许多问题中得到广泛应用；但是它具有一定的局限性。虚位移原理引入虚位移的概念，通过作用在质点系上的所有力在虚位移上的虚功关系给出一个普遍适用的平衡的充分必要条件。它是研究任意受约束质点系平衡的十分有效的普遍方法。虚位移原理与达朗贝尔原理是分析力学的两个基本原理。分析力学是继牛顿矢量力学后，针对受约束质点系创立的一种采用标量分析的力学体系。第9章虚位移原理假想一个约束允许的位移——“虚位移”dx（水平向右），则F与P在此
2、虚位移上就作了“虚功”，它们的虚功之和：Fdx－Pdx＝０，而由于假想的虚位移dx是任意的，所以有：F－P＝０，即：F＝P9.1约束自由度与广义坐标9.1.1约束及其分类约束是指对物体的位置或运动的限制条件。在矢量力学中，约束是用约束力描述的。约束还可以用表示限制条件的数学表达式，即约束方程来描述。对于由n个质点组成的非自由质点系，约束方程就是这些质点的矢径（或坐标）的关系式。按照约束方程的形式及其所含变量的不同，可以对约束进行各种分类。1．几何约束、运动约束（微分约束）⑴几何约束f(x,y,z)=0,如：其约束方
3、程是：(x1－x2)2+(y1－y2)2=R2它只限制质点的位置关系。⑵运动约束（微分约束）f(x,y,z，dx/dt,dy/dt,dz/dt)=0如：纯滚动，约束方程是：它只限制各质点的运动关系。2．定常约束、非定常约束⑴定常约束f(x,y,z)=0不含时间；⑵非定常约束f(x,y,z,t)=0含时间。如：3．双面约束、单面约束（1）双面约束f(x,y,z)=0如：约束方程为：（2）单面约束f(x,y,z)≥0（不等式）约束方程为：4．完整约束、非完整约束⑴完整约束：几何约束与可积分的运动约束（即可化为几何约束的
4、运动约束）。⑵非完整约束：不能积分到底的运动约束。以下仅研究双面、定常、完整约束，特别是常见的双面定常几何约束。其约束方程形式为：f(x,y,z)=0。一.自由度由n个质点组成的非自由质点系，如果受l个完整约束和h个非完整约束，则系统的自由度为3n-l-h。平面运动刚体的自由度为3，平面机构的自由度为k=3n-s，其中n为运动刚体个数，s为约束力分量个数。二.位形系统内各质点在每个瞬时的位置总体构成一个系统的位形。比如，由n个质点组成的质点系，在空间可以用3n个直角坐标xi、yi、zi来确定其在空间的位置，这3n个
5、坐标的集合就称为该质点系的位形。9.1.2自由度与广义坐标对于由n个质点组成，受l个完整约束和h个非完整约束的质点系系统的广义坐标数为系统的自由度为非完整约束无法确定坐标之间的关系，所以选取广义坐标时不必考虑系统的非完整约束。但非完整约束限制了自由度，所以它对自由度是有影响的。三.广义坐标确定系统的位形的最少数目的一组独立坐标称为系统的广义坐标。物理坐标：x1,y1,z1;x2,y2,z2;约束方程：x12+y12=a2z1=0z2=0(x2－x1)2+(y2－y1)2=b2广义坐标：a,b坐标变换：x1=asin
6、a,y1=acosb,x2=asina+bsinb,y2=acosa+bcosb自由度：2，（n=2,l=4,r=3n－l=2）9.2虚位移虚功理想约束9.2.1虚位移1.虚位移的概念某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移叫做虚位移（可能位移）。未必真的发生，虚位移用“d”，实位移用“d”表示。无限小；而实位移是是有限的。与外力无关，只与约束有关；实位移与两者都有关。与时间无关，实际位移与时间有关。在定常约束下，实位移才可能是虚位移之一；而非定常约束则不然。如：2.虚位移关系分析在非自由质点
7、系中，不同点的虚位移不是完全独立的。独立虚位移的数目与系统的自由度相等。分析不同点的虚位移之间的关系，用独立的虚位移表示各点的虚位移，是运用虚位移原理的关键环节。常用的方法有几何法、虚速度法与解析法。(1)几何法设系统某处产生虚位移，作出系统此时的位置图形，直接按几何关系确定各有关虚位移之间的关系。例9-1图示梁中，如果解除A支座的约束，试求梁处于平衡状态时A支座的约束力FA与各主动力对应的虚位移之间的关系。图中长度单位为m。设想一个与虚位移方向一致的“虚速度”，用运动分析中速度分析的各种方法分析虚速度的关系，所得
8、即为虚位移的关系。(2)虚速度法例9-2图示椭圆规机构中，连杆长为l，在滑块A和B上分别作用力FA、FB，机构在图示位置平衡。求FA和FB作用点的虚位移的关系。解：此机构只有一个独立的虚位移。设FA的作用点A的虚位移为drA，FB的作用点B的虚位移为drB，并视它们为点A和点B的速度（虚速度）。由杆AB的平面运动可知，点A和点B的速度在AB连线上的投影相等，
