工程力学 第23章 虚位移原理

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1、第23章虚位移原理工程静力学研究物体或物体系统处于平衡状态时，作用在物体或物体系统上的所有外力（包括全部约束力）之间的相互关系。虚位移原理则是应用能量的概念研究受力物体或物体系统的平衡的普遍规律，不仅可以得到物体或物体系统的平衡条件和平衡方程，而且还能判别平衡的稳定性。虚位移原理所采用的数学方法不同于工程静力学中的方法。§23-1引言§23-2虚位移原理中的基本概念23－2－1约束23－2－2广义坐标与自由度23－2－3虚位移与虚功23－2－4理想约束§23-3虚位移原理23－3－1虚位移原理23－3－2虚位移原理应用概述23－3－3虚位移原理在简单刚体系统中的应用§23-5结论与

2、讨论23－5－1确定系统的自由度与广义坐标23－5－2虚位移必须是系统约束所允许的任意位移23－5－3应用虚位移原理时，解析法或几何法的选用习题本章正文返回总目录1第23章虚位移原理§23－1引言本书第一篇的工程静力学研究了物体或物体系统处于平衡状态上，作用于其上的所有外力必须满足的条件。但是，工程静力学的研究范围、研究方法以及所得到的结论都有一定的局限性。例如：1．刚体平衡的充要条件对变形体是必要的，但不是充分的。刚体平衡的充要条件不是一般质点系（含变形体）平衡的普遍规律。2．刚体平衡的充要条件不能判别物体系统平衡是稳定的还是不稳定的，即平衡位置稳定性（stabilityofth

3、econfiguration）。以图23－1中所示之放置于不同光滑约束面上的刚性圆（a）稳定平稳（b）不稳定平衡（c）随遇平衡图23－1平衡的三种类型球为例，图23－1a中圆球的平衡是稳定的（stableequilibrium）；图23－1b中圆球的平衡则是不稳定的（unstableequilibrium）；而图23－1c中圆球的平衡是随遇的（indifferentequilibrium）。但是，根据工程静力学，只知道它们都是二力平衡，F=-W，却无法区分RN三种平衡类型。图23－2涡轮－涡杆提升机构3．应用刚体平衡条件求解物体系统的平衡问题时，约束越多，过程越复杂。例如图23－2

4、所示之涡轮－涡杆提升机构。若已知提升物体的质量为m，要求施加在手柄上的力F。这种情形下，如果采用工程静力学方法建立mg与F的关系，必须将系统拆开，首先确定2mg与涡轮、涡杆约束力之间的关系，再确定涡轮、涡杆约束力与力F之间的关系。而涡轮与涡杆的约束力为复杂的空间约束力，因而，为了确定力F，必须求解两个局部系统的空间力系平衡问题。如果引入功能概念以及相关的原理研究静力学问题，则有可能避免上述问题。以图23－3所示之杠杆平衡为例，杠杆AB铰支于点C，并在力FP与FQ的作用下处于平衡。由工程静力学的平衡条件åM(F)=0，得到CFl=FlP1Q2图23－3引入功能概念求解杠杆平衡问题上述

5、结论也可以从力作功得到。杠杆工作的过程中，其初始角速度与最终角速度一般均为零。如令δd和δd分别表示点A和点B满足约束的任意上升和下降的距离，略去铰C12的摩擦力，则据动能定理可以写出dTW=då其中ådW=-Fd+ddFdP1Q2dT=0于是，有Fd=ddFdP1Q2其中，δd和δd满足：12ddd::d=ll1212同样得到Fl=FlP1Q2这是由功能概念和理论得到的结果，它与应用工程静力学方法所得到的结果完全相同。由此可见，根据作用在系统上的有功力在其平衡位置附近的位移上做功的关系，也可以建立系统的平衡条件。这是虚位移原理的最简单的例子。3§23－2虚位移原理中的基本概念23

6、－2－1约束本书第一篇工程静力学中曾经从对运动的限制和受力两个方面对约束作了定义和描述。现在需要在工程静力学的对约束的定义和描述加以扩展。l约束定义的扩展在工程静力学中，约束定义为对物体运动预加限制的其他物体。现在为了用分析的方法研究物体的平衡规律，必须将约束分析化，也就是用数学表达式描述约束。这时，约束对物体运动预加的限制条件，将被表示为f(r)=0（i=1,2,L,n）；（a=1,2,L,s）（23－1a）ai或f(x,y,z)=0（23－1b）aiii式中，r为质点系中第i个质点的位矢，r=(x,y,z)；a为约束数。iiiii例如，图25－4a所示为刚性杆长为l的单摆，摆锤

7、A的运动所受的限制条件为222x+y=l图23－4用刚性杆悬挂的单摆与弹簧－质点二维系统而图23－4b中的小球A的运动尽管与弹簧相连，但是却写不出类似的约束方程，因此它是平面内的自由质点。又如，图23－5所示为曲柄－滑块机构，曲柄长OA=R，连杆长AB=l，该系统有三个约束方程222x+y=RüAAïyB=0ý222ï(x-x)+y=lBAAþ4图23－5曲柄–滑块机构这是因为该系统由三个物体组成：曲柄OA的约束方程与图23－4a所示单摆的约束方程相同；滑块B被限制在