张量的基本性质.pdf

《张量的基本性质.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、张量基本知识第一章张量代数1.1指标记法1.1.1求和约定、哑指标1.1基本概念1.标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度等。标量无下标。2.矢量：有大小，又有方向性的物理量。如矢径（r或黑体）、位移u、力F等。矢量可用一个有向线段来确定。x33rr1e1r2e2r3e3rieiri1e3其中e1、e2、e3为坐标的基矢量（单位x2向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的ee2x1投影（分量），都有一个下标。1记法：（1）实体记法：r（或黑体字母）r（2）分解

2、式记法：同时写出矢量的分量和相应分解分量的基。3rr1e1r2e2r3e3rieii1（3）分量记法：将矢量用其全部分量的集合来表示r（r、r、r)123（4）矩阵记法：{},{}rri3,张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描述更复杂的物理量）。如应力、应变。有些量不能只利用一个方向来确定。如应力：它与两个方向有关pnnn在方向（为作用面的法矢），应力矢n为p；n而在n方向，应力矢为p.nn这说明应力矢本身有方向，而且还与其pn作用面方向有关，必须用两个方向才能描述应力矢。常用的应力单元体也是如此：每一个应力分量也必须

3、用两个方向才能描述，第一个方向为应力作用面的方向，第二个方向为应力作用的方向。于是引入二阶基：eeeetxye1e21212eexx11每个分量用一个标量（具有两个下标）与两tee个并在一起基矢量（并xz13矢）表示，称为二阶张量。3311e1e112e1e2......33e3e3ijeieji1j1从数学上说，可引入eeen阶基，n阶基中有3n12n个基矢。与n阶基相关连的量称为n阶张量。n0时为标量；n1时为矢量；n2时为二阶张量（简称张量）。故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1

4、个分量组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成；三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。1.2张量表示1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法点的坐标(x,y,z)（矢径）x1,x2,x3xi(i1,2,3)点的位移(u,v,w)u1,u2,u3ui(i1,2,3)点的速度vx,vy,vzv1,v2,v3vi(i1,2,3)应力（张量）：x,y,z,txy,tyx,tyz,tzy,tzx,txz,,,,,,,,112233122123323113(i,j1,2,3)ij

5、应变张量：x,y,z,xy,yx,yz,zy,zx,xz,,,,,,,,112233122123323113(i,j1,2,3)ij微分符号：ffff,,f,(f)(i1,2,3)iixxxx123i2222ffff,,,f,(i,j1,2,3)222xxijx1x2x312约定：i,j,k,英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.在该约定下，上述简写表达式后的说明(i1,2,3)或(i,j1,2,3)在以后的写法中将被略去。n阶张量可表示为a(i1,2

6、,3;i1,2,3;;i1,2,3)i1i2i3...in12naiii123...in1.2.2求和约定（Einstein求和约定）3rre11re22re33reiireiii1矢量点积的实例设ab,为两矢量，其分量分别记为ai,bi，则：3abab11ab22ab33abiiabiii1哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。该重复指标称为“哑标”或“伪标”。Saxaxax1122nnnnnaixiajxjakxki1j1k1显

7、然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。于是ororSaixiajxjakxk*1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出nabxaibixi是违约的，求和时要保留求和号iiii1*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和双重求和Saxxijij33Saijxixj展开式（9项）i1j1Saxxaxxaxx1111121

8、21313axxaxxaxx212122222323axx