超三对角张量及其性质.pdf

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1、●／118I专研究．．黪一·’0鬃J篷◎王扉(湖南城市学院，湖南益阳413000)【摘要】介绍了超三对角张量的概念，研究了这类张量下列定理揭示了结式的一些重要性质[4]．的一些性质．首先，深入研究了三维四阶张量分析性质，并定理1设，，⋯是关于--，齐次多项式．设给出了它们的特征多项武和行列式计算公式．然后，给出了的次数为d，i=1，2，⋯，／Z．则判别这类张量正定的充分必要条件．(1)Res(，，⋯，)：Res(厂I，，⋯，)Res(1尸，【关键词】对称张量；超三对角张量；特征值；特征多项⋯，)；式；正定(2)Res(

2、d。，，⋯，)=Res(，⋯，)，其中／(：，【中图分类号】0151．23；O175．9【文献标识码】0⋯，z)=(0，2，⋯，)，i=2，⋯，n；【基金项目】湖南省教育厅项目(11C0251)．(3)Res，⋯+．，⋯)：oddl'"di_ldi+l'"dnRes(fl，⋯+，⋯一)．引言1．超三对角张量设A是一m阶n维张量，若其分量我们首先介绍超三对角张量的概念．0m‘m，1'￡2’⋯，l，Z，⋯，n'm定义3设A是m阶n维张量，若它的分量满足：对下标的任意排列不变，称A是对称张量[1]．若对任意非0：0，当Ii一

3、il>1，Vk，f．1，⋯，m，2零实向量=(。，：，⋯，)，有我们称』4为三对角张量．特别地，对=1，2，⋯，m，。⋯)A=∑(~ili2,XIX2""X．>0，=0，其中i+1的个数超过1，则称A为超三对角张量．i1，i2·，iml显然2阶n维三对角张量是三对角矩阵，因此，三对角则称A是正定的．张量是三对角矩阵的推广．在下文中，我们主要研究超对称Caley(1845)提出张量的一个重要概念——超行列式的超_三对角张量．为简单起见，记[21．张量A的超行列式是一个关于o的既约多项式，n=Ⅱ，i=1，⋯，n记作det(

4、A)，它为零当且仅当存在∈C，≠0使得Ax=和0且它的梯度Ax一=0．为研究张量的正定性，祈力群教授b=口+1=‘一口+l，i=1，。一，n一1，[3]提出了超对称张量的H特征值的概念，并指出A是正定它们是A的所有可能非零元．的充要条件是它的所有H特征值为正．由张量特征值定义，特征值A和特征向量满足如下多定义1若存在复数A和非零复向量满足下列齐次项式方程组：多项式方程组Ax～=A[一(。1一A)一+(m一1)blml一2=0．则称A为A的特征值，称为A对应于A特征向量，其中b．一+(。2一A)+(m一1)b2一：0一(

5、，⋯，)．特别地，若存在实数A和非零实向量满足，则称A为A的H特征值，称为A对应于A的H特征向6m-I+(。一2一2一j—A)：+(m一1)b一lm一-l2=0量．b一1：1+(n一A)x．m一=0众所周知，对称矩阵只有实特征值和实特征向量．然而(1．1)存在超对称张量使它的实特征值对应复特征向量．这导致若A和是实的，则^是A的H特征值．一些重要的问题：在什么条件下，特征值是H特征值?如何由(1．1)，不难证明=Q(A)+，i=l，2，···，n一1，计算H特征值?这些问题对于一般超对称张量是很困难的．其中Q(A)是A

6、的有理函数．注意到A是实数且Q(A)，i=在本文中，我们将对一类特殊张量回答这些问题．l，2，⋯，n一1也是实函数，故是实向量．因此，对超对称的下面介绍结式和它的一些重要性质，这将对H特征值超三对角张量，实特征值必对应实特征向量．的研究非常重要．定理2A是A的H特征值当且仅当它是实数．定义2设，，⋯，是关于一，齐次多项式．，2．4阶3维超三对角张量，⋯的结式是一关于，⋯系数的既约多项式，记设A是4阶3维超三对角张量．则(1．1)变为作Res(，，⋯)，其为零的充要条件是，，⋯，，n有公共根．数学学习与研究20155专题

7、研究赣。静躲#_一●(r上1一A)+3b12l2=0r3b，b2；+(。一A))=(一A){[(。一A)(。。一{bj+(0一A)；+3b；，=0(2．1)A)一27b](。一A)一27b：(0一A)}．【6+(。，一A)；=0上式对A=o也成立．因此，A的特征多项式为当b=b=0时，是对角张量．由(2．1)得4的特征(A)=(。，一A)。[(。，一A)(。一A)一值：A=0，A：=。，A=0，．因此，A是正定的当且仅当27b]{[(。：一A)(0一A)一27b](。一A)一o1>0，口2>0，n3>0．27b(。，一

8、A)}．(2．4)当b=0，b≠0时，(2．1)变为：由以上讨论可得如下定理．定理4A的特征值为：n，(6重)，(n，一A)(o一A)一，(。l—A)=027b：=0的根(2重)和{(n一A)；+3b。：，=0[(0一A)(。一A)一27b](。。一A)一27b：(。。一【b2i+(。，一A)；=0A)=0．(2．5)根据定理1，