张量概念及其基本运算

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1、2013/9/12张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。•张量：向量的推广。在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量

2、：由3n个分量组成的集合2013/9/12张量的阶◆现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；、、、当取n时，n阶张量，M=3n。张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z)→x(i=1,2,3)i•应力张量：111213212223iji1,2,3;j1,2,3313233•n阶张量可以表示为：ai1i2ini11,2,3;i21,2,3;in1,2,3n阶张量的下标有n个。2013/

3、9/12Einstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值3aibiaibia1b1a2b2a3b3i13aijbjaijbjai1b1ai2b2ai3b3j1322222aiiaiia11a22a33j12322iiii(112233)i133ijijijijij1111

4、11121213132121222223233131323233332013/9/12★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。◆求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。◆在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前优先求和。例：2222aaaaii11223322(a)(aaa)ii112233关于Kroneckerdelta（）符号：ijij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：1001,当ij时；ij

5、或：ij0100,当ij时；001可用于换标，如aiija11ja22ja33jaj2013/9/12的作用与计算示例如下：ij(1)3ii112233222(2)()()()3ijij112233(3)ijjki11ki22ki33kik(4)aaaaaijij111122223333ii(5)aaaaa(即a,或a,或a)iij11j22j33jj123(6)llll

6、()lijjiijjijjijijj置换符号1,ijk,顺序(123,231,312)eee,1ijk,,逆序(321,132,213)ijijkkijk0,ijk,有重复2013/9/12张量的基本运算A、张量的加减：张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：a11a12a13aaaaij212223aaa313233凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。即：aijbijcij其中各分量（元素）为

7、：aijbijcij张量的基本运算B、张量的乘积◆对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。◆两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：abcijkijk◆张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如：(ab)cacbc；或(ab)ca(bc)ijijkijkijkijkmijkm2013/9/12张量的基本运算C、张量函数的求导：◆一个张量是坐标的函数，则该张量

8、的每个分量都是坐标参数xi的函数。◆张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。◆对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前上方加“′”的方式来表示。例如Aij，就表示对一阶张量Ai的每一个分量对