应力张量的概念及其应用

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1、应力张量的概念及其应用1。应力张量及其不变量2。应变张量及其不变量3。广义胡克定理1。应力张量及其不变量自然界的物质的性质和规律是一种客观存在，不受描述它的方法的影响。一、张量的概念数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐标系的选择，会使问题简单化或复杂化。希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量摆脱具体坐标系的影响。1。应力张量及其不变量已经学过的数学量：标量：温度、密度、能量等矢量：速度、加速度、位移、力等在材料力学中学到的应力和应变的表示：在三维空间，每维空间有三个分量，一个要用九个分量表示。1。应力张量及其不变量引入张量：0阶张

2、量：30＝11阶张量：31＝32阶张量：32＝93阶张量：33＝27应力和应变是二阶张量二、一点的应力状态表示1。应力张量及其不变量用二阶张量在x,y,z坐标系表示或写成：1。应力张量及其不变量仍选用直角坐标系，坐标轴写成x1,x2,x3采用张量下标记号法：应力张量为对称张量，有6个独立分量：以lx,ly,lz分别代表法线n的方向余弦。以dA,dAx,dAy,dAz分别代表abc,obc,oac,oab三角形的面积。1。应力张量及其不变量三、应力张量的不变量设在x1,x2,x3坐标系中，有一用法线单位矢量n表示的斜平面，n的方向余弦

3、用l1,l2,l3表示用张量记号的求和约定：斜面上的应力表示为：1。应力张量及其不变量若n是主应力方向，则斜面上只有正应力，其值等于主应力，Sn与n重合。以l表示主应力的值，它在坐标轴上的投影为：将(3)式代入(1)式：用张量记号表示(4)式：1。应力张量及其不变量引入记号d:(4)式中方向余弦满足：(4)式与(7)使，4个方程解4个未知数：l1,l2,l3,ll1,l2,l3,不全为零的条件是(4)式的系数行列式为零：1。应力张量及其不变量展开(8)式得到l的三次代数方程式：其中：原设l为一个主应力，可以证明方程(9)有3个实根，

4、则是三个主应力，用s1,s2,s3表示。若用主应力表示J1,J2,J3:可以证明三个主方向是相互垂直的。结论：1.三个主应力和代表主方向的三个空间角度完全代表一点的应力状态。2.一点的主应力值是和坐标选择无关的。3.坐标变换时，应力分量sij变化，但主应力不变。4.和主应力一样，J1,J2,J3不随坐标系而变化，称为应力张量的不变量。2。应变张量及其不变量应变的定义：正应变：切应变：2。应变张量及其不变量在直角坐标系x1,x2,x3,应变与位移的关系切应变：均为小变形下正应变：应变张量：（与应力张量一样，为二阶张量）应变张量为二阶对

5、称张量主应变：可以表示为：e1,e2,e3各向同性材料主应力方向和主应变方向一致应变张量的不变量：若用主应变表示I1,I2,I3:结论：同学自己可以总结广义胡克定律，应变能密度广义胡克定律成立的条件:1.弹性体，应力低于弹性极限。2.应变分量是应力分量的线性函数。对于均质各向异性弹性体，最一般的情况，弹性系数有36个，其中21个是独立的。对于均质正交异性弹性体，最一般的情况，弹性系数有12个，其中9个是独立的。对于均质各向同性弹性体，最一般的情况，弹性系数有12个，其中2个是独立的。各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律，应变

6、能密度1、横向变形与泊松比--泊松比yx各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律，应变能密度2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律，应变能密度yzx各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律，应变能密度3、三个弹性常数之间的关系各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律，应变能密度应变能密度广义胡克定律，应变能密度1、微元应变能(StrainEnergy)dydxdz应变能密度广义胡克定律，应变能密度dW=应变能密度广义胡克定律，应变能密度2、应变能密度(Strain-Ener

7、gyDensity)应变能密度广义胡克定律，应变能密度3、体积改变能密度与形状改变能密度+令应变能密度广义胡克定律，应变能密度:Strain-EnergyDensityCorrespondingtotheDistortion:Strain-EnergyDensityCorrespondingtotheChangeofVolume应变能密度广义胡克定律，应变能密度应变能密度广义胡克定律，应变能密度重要应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态plpDlmstsＤ)Dp(msmmpD2４t(2l)ttp

8、Ｄ重要应用实例Ｄmmpd2４)Dp(ms重要应用实例ppDlt(2l)tt重要应用实例重要应用实例lmsts结论与讨论1、关于应力和应力状态的几点重要结论应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念.