张量分析及其应用

《张量分析及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、张量分析及其应用第一章张量代数第二章张量分析第三章张量应用 第一章张量代数1.1指标记法1.1.1求和约定、哑指标 S=a1x1+a2x2+Lanxnnnn∑∑∑=ax=ax=akxkiijji=1j=1k=1显然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。oror于是S=aixi=ajxj=akxk n∑aibixiaibixi是违约的，求和时要保留求和号i=1n表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题aixi=a1x1+

2、a2x2+a3x3bjj=b11+b22+b33cmem=c1e1+c2e2+c3e3 33∑∑S=aijxixji=1j=1双重求和S=aijxixj简写成展开式（9项）S=a11x1x1+a12x1x2+a13x1x3+a21x2x1+a22x2x2+a23x2x3+a31x1x1+a32x1x2+a33x1x3333∑∑∑三重求和（27项）S=aijkxixjxk=aijkxixjxki=1j=1k=1 1.1.2自由指标xi′=aijxj例如指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,3,…,n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表

3、示3个方程的缩写：x1′=a11x1+a12x2+a13x3x2′=a21x1+a22x2+a23x3x3′=a31x1+a32x2+a33x3 ′e=Aijeji为自由指标，j为哑标i表示e1′=A11e1+A12e2+A13e3′e=A21e1+A22e2+A23e32′e=A31e1+A32e2+A33e33 ′e=Aijeji为自由指标，j为哑标i表示e1′=A11e1+A12e2+A13e3′e=A21e1+A22e2+A23e32′e=A31e1+A32e2+A33e33 Ci′j=AikBjki，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：′C=A1kB1k=A11B11+A

4、12B12+A13B1311′C=A1kB2k=A11B21+A12B22+A13B2312′C=A1kB3k=A11B31+A12B32+A13B3313′C=A2kB1k=A21B11+A22B12+A23B1321……′C=A3kB3k=A31B31+A32B32+A33B3333 例外：R1=C1E1R2=C2E2R3=C3E3Ri=CiEi=CiEi这里i相当于一个自由指标，而i只是在数值上等于i，并不与i求和。规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线以示区别，或用文字说明（如i不求和）。 又如，方程Θ21+Θ22+Θ32=α1β1Ψ1+α2β2Ψ2+α3β3Ψ3用

5、指标法表示，可写成ΘiΘi=αiβiΨi=αiβiΨi=αiβiΨii不参与求和，只在数值上等于i 1.2Kronecker符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker符号定义为：1,i=j⎧⎨0,i≠j⎩δij=δ其中i，j为自由指标，取遍1，2，3；因此，ij可确定一单位矩阵：δδ12δ13⎤⎡100⎤⎡11⎢⎥⎢23⎥⎥δδ22δ=010⎢⎥⎢⎦⎣3321⎢⎥⎢⎥⎦δδ32δ001⎣31 若e1,e2,e3是相互垂直的单位矢量，则ei⋅ej=δij，但ei⋅ei=e1⋅e1+e2⋅e2+e3⋅e3=3δii=δ11+δ22+δ33=3而，故ei⋅ei=δii 注意：δiiδii

6、=3是一个数值，即δij的作用：1）换指标；2）选择求和。Ai→Ak例1：δkiAi=δkkAk=Ak思路：把要被替换的指标i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k表示 例2：Tkj→TijδikTkj=δiiTij=Tijδikδkj=δij,δikδkjδjm=δim特别地，例3：ABminj,34=81个数，m=n求项的和。δmnAmiBnj=AniBnj=AmiBmj 1.3置换符号⎧1,i,j,k,为1，2，3的偶排列⎪eijk=−1,0,⎨i,j,k,为1，2，3的奇排列⎪⎩i,j,k,不是1，2，3的排列例如：e123=e231=e312=1e321=e2

7、13=e132=−1e111=e121=e232=L=0 可见：eijk=ejki=ekij=−ejik=−eikj=−ekjieijk也称为三维空间的排列符号。若e,e,e是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量123则ei×ej=eijkek 常见的恒等式δilδimδineijkelmn=δjlδjmδjn(i)δklδkmδkneijkelmk=δilδjm−δimδjleijkeljk=2δil(ii)(iii)eijkeijk=6=3!(iv) 证明：AilAim