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1、《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节矢量与张量代数一、矢量代数令A=人尼+A2e2+A3e.B=+B2e2+B3e3则有aA=aA^}+aA2e2+aA3e3A+B=(Aj+耳)e〔+(A>+B?)e°+(A3+)e,A・B=(4,6)+Ae2+A3e3)«(B1e1+B2e2+B3e3)=A}B}+电场+AxB=(4占]+/42e2+A3e3)x(^6]+B2e2+B^e3)=xej+人3占xe2+4/占xe3+xe】+xe2+A2B3e2xe3+A3B}g3xe〕+5J3xe2+A3B3e3xe
2、3乂1大1为=0e,xe2=e3e】xe?=-ee2xe,=-e3e2xe2=0e2xe3=eie3xe〕=e2e3Xe2=-eie3xe^=0则AxB={A2By_A3B1)tx+(A3B1-AIB3)e2+(A,B2习题1、证明下列恒等式：1)(AxB)>(BxC)x(CxA)=[A*(BxC)]22)(AxB)e(CxD)=[A>(CxD)]B-[B>(CxD)]A2、请判断卜•列矢量是否线性无关？A=2e)-e2+e?B=-e2-e3C=一e〕+e2.其中e,单位为正交的基矢量。*补充知识：矩阵及矩阵运算A3
3、A33（门=1,2,3）1、定义：[A]=[Aj=AlA22_Ai血i表示行，j表示列；m和n相等表示为方阵，称为m（或n）阶矩阵。每表示对角元索。如果一个矩阵[A]只有比不为零，则[A]为对角阵。对角元索为1的对角阵称为单位矩阵[I],如果是3阶单位矩阵，100_则可写为：[I]=010[o01■300_而对角阵[A]可取为：[A]=0-20[001矩阵的迹：一个矩阵的对角元素Z和，可称为矩阵的迹。如果一个矩阵只冇一行或者一列元素，则可用一个下标表示，例如：、X]=*2[Y]={r,y25}其可用矢量分量表示。2、
4、矩阵的运算：（1）、矩阵求和定义：两个矩阵[A]和[B],即L」加"LJmn[A]=Ai}i=l,2,moj=l,2,n[B]=[B订则两矩阵之和为:[c..]=[a7+b/标量乘积为：aAtjJ=[04了]矩阵Z和满足:a、[A]+[B卜[B]+[A]b、[A]+([B]+[C])=([A]+[B])+[C]c、[A]+[()]=[()]+[A卜[()]d、[A]+[-A]=[O]e、cz([A]+[B])=g[A]+q[B]f、([A]+[B])[C卜[A][C]+[B][C](2)、矩阵的转置，对称与反对称矩阵
5、令［A］是一个mxn的矩阵，月.524例1、令[A]=3214364368则［A『和［B『分别为「12[B]7=4638534[A]7'=223416对于[A]和[B],有])([Af)=[A]；2)([A]+[B])=[A]7+[Bf1)对于反对称阵［A］,其中A,=0o(3)、矩阵的乘积，令［A］=［A--［是加阶矩阵，［B卜国［是林卩阶矩阵，则矩阵乘积［A］［B］=［C］可写成:Cjj=£a伙Bkj(i二1,2,3m；j=l,2,3p)k=l注意：1)如果[人]是一个加“的矩阵，[B]是一个“xq的矩阵，则[A
6、][B]只冇在n=p吋成立，同样，[B][A]只有在q=m是才成立。2)[A][B]和[B][A]当且仅当[A]和[B]是同阶方阵是成立。3)[A][B]和[B][A]即使都成立，一般情况下两者也不想等，[A][B]h[B][A],表示矩阵的乘积不满足交换律。4)如果[A]是方阵，则[A]2=[A][A],[A]3=[A][A]2=[A]2[A]5)([A][B])[C]=[A]([B][C]);6)([A][B『二[B『[Ar「5-2r_3-124876;叶243-635796-21-190■例2、令[A],求[A
7、][B],([A][B])r和5-2r■36-5-27__3-124876-63573649398724396-219281839-190__-57284359解:[A][B]=36369-57-5492828-23918437873959则([A][B])「3-69「36369-57__582-「-136-2749-549282825-21630-2391843_471J_7873959(2)、矩阵的逆和行列式的值先讨论矩阵的行列式的值：令[A卜[旬为一个nxn的矩阵,则该矩行列式的值定义为：det[A]=”』=工
8、（一1）川匕[
9、41
10、i=i其中
11、九
12、为A；去掉第i行和第1列的剩余行列式。例1、1）如果[A]22)令[A]=123i+1IAI=S(_1)ai\Ai\1=1=(_1)~alla2154-3ai2。22-13543-35=2x[4x5-(-3)x3]+(-l)=2x29-22+2x19=74+(j)a21,则其行列式值为:5-1-35a
