张量分析总结

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1、一、知识总结1张量概念1.1指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现R仅出现一次的指标。性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例：Allxl+A[2x2+A13x3=B、A2]x}+A^x2+A23x3=B,力3內+力32兀2+力33兀3=*3(1」)式（1.1）可简单的表示为下式：A/j=Bj(1-2)其中：，为自由指标，丿为哑标。特别区分，自由指标在同一项

2、中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标丿则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。1.2Kronecker符号定义爲为:(1.3)爲的矩阵形式为:1000=010001(1.4)可知=8a=6甘=3od符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成5的另一个指标，而》符号消失。如:(1.5)sysjk=4=su爲的作用：更换指标、选择求和。1.3Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：1,"/为偶排列仪=-1,门也为奇排列（1.6）0,其余情况-1图1.1力,

3、£排列图/讽•的值中，有3个为1,3个为・1,其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。1.4坐标转换如上图所示，设I口坐标系的基欠为弓，新坐标系的基矢为耳。有错误!未指定书签。G在勺下进行分解：G=弓+0/2+0M*3勺错误!未指定书签。错误!未指定书签。勺•在W下进行分解：ef=J3vje+（3rje2+阳&=卩也错误!未指定书签。其中，0,/=cos（e；,勺）=g•勺=勺乜错误!未指定书签。为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径:///r=兀.弓vr=x「jr=r+彳(1.7)其中尸。为上图中坐标

4、原点的位移欠量。将厂向新坐标轴错误!未指定书签。投影的矢量的分量：r•ei=xkecei=xk8ki=xi即G+r）•e.=（远）°ek•e；+亏勺•e；=（兀;）。爲+兀屁=（兀;）。+兀屁.由此得新坐标用老坐标表示的公式：兀'=（€）（）+形0”门°、错误!未指定书签。（I.X）类似地，将，向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式:卩=乞）。+兀0（1・9）错误味指定书签。错误!未指定书签。特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时（x；）o=O,错误!未指定书签。上两式的矩阵形式为：{x]=[fi]{x}；rirrnrllrn（1.10）错误!

5、未指定书签。错误!未指定书签。仪}=

6、0]{}=["]找}错误!未指定书签。由上可知，[0][0]'[/]错误味指定书签。，[0]是正交矩阵，则的综合以上可知：弓•勺=0附00沁=0几e•€・=5•zJij=10U卩汕『％（1」1）错误!未指定书签。同理，可推出:Pki^kj~%将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，错误!未指定书签。；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，Xj=xj（xi）心誘九•错误味指定书签。，其中弟错误味指定书签。错误味指定书签。为常数，错误!未指定书签。称丿二西dxj为雅克比行列式。若J处处不为0,则说明存在相应的逆变化，即：冷二讣二*错误味指定书

7、签。1.5张量的分量坐标转换规律1.5.1一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为:a=aiei—q灼(M2)其中：eJ=0諾(1.13)则：a=Q倒=Q屁(1.14)得到：4=Q屁(1.15)同理：<=卩皆j(1.16)得：ai=卩也(1」7)矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。1.5.2二阶张量定义弓勺为二阶基矢，写在--起，不作任何运算。由下式：可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为:(1.18)(1」9)错误!未指定书签。(1.20)错误味指定书签。记：错误!未指定书签。B严®bj错误!未指定

8、书签。(1.21)则:(1.22)错误!未指定书签。该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：B=B^e.=B亦)(1.23)错误!未指定书签。将式(1.13)错误!未指定书签。代入错误!未指定书签。上式可得:(1.24)B'=B,BijLim尸jnmn”B'=B，B‘mnmr^jnij此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。2张量的代数运算2.1张量的加减假如&、鸟为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加(减),得到的结果即为它们的和(差)，记为a