张量分析总结.doc

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1、第9页中国矿业大学《张量分析》课程总结报告一、知识总结1张量概念1.1指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例：(1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，

2、表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。1.2Kronecker符号定义为：(1.3)的矩阵形式为：(1.4)可知。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：(1.5)第9页中国矿业大学《张量分析》课程总结报告的作用：更换指标、选择求和。1.3Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：(1.6)图1.1i,j,k排列图的值中，有3个

3、为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。1.4坐标转换图1.2坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为，新坐标系的基矢为。有在下进行分解：在下进行分解：其中，为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：(1.7)第9页中国矿业大学《张量分析》课程总结报告其中为上图中坐标原点的位移矢量。将向新坐标轴上投影的矢量的分量：由此得新坐标用老坐标表示的公式：(1.8)类似地，将向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：(1.9)

4、特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时，上两式的矩阵形式为：(1.10)由上可知，，是正交矩阵，则。综合以上可知：(1.11)同理，可推出：将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，，其中为常数，称为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化，即：1.5张量的分量坐标转换规律1.5.1一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为：(1.12)其中：(1.13)第9页中国矿业大学《张量分析》课程总结报告则：(1.14)得到：(1.15)同理：(1.16)

5、得：(1.17)矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。1.5.2二阶张量定义为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：(1.18)可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：(1.19)又：(1.20)记：，(1.21)则：(1.22)该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：(1.23)将式(1.13)代入上式可得：(1.24)此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。第9页中国矿业大

6、学《张量分析》课程总结报告2张量的代数运算2.1张量的加减假如A、B为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为，例如：(2.1)显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。2.2标量与张量的积张量A，标量λ，若，则：(2.2)2.3张量的并积两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。(2.3)(2.4)(2.5)式(1.10)中：(2.6)2.4张量的缩并若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。，有。

7、取不同基矢量点积，缩并结果不同。2.5张量的点积两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下：(2.7)(2.8)(2.9)其中，第9页中国矿业大学《张量分析》课程总结报告(2.10)2.6指标的转换对于张量，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示：(2.11)指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：(2.12)2.7张量的商法则张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式成立，则T必定是一个p+q阶的张量。

8、以上规则称为张量的商法则。3二阶张量二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。3.1二阶张量的矩阵(1)任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式：(3.1)二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。首先，矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵