张量分析作业11.doc

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1、张量分析1张量代数1.1坐标系在三维空间中，一个笛卡尔坐标系用图表示为三个相互垂直的轴，分别记为x轴、y轴、z轴。为以后方便起见，坐标轴可更方便地表示成轴、轴、轴，而不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。图1.1所示的坐标系假定采用右手记法，轴、轴位于图纸平面内，轴垂直指向读者。在这种记法中，坐标轴分别平行于（右手）指向观察者的中指、指向右边的大拇指和垂直向上的食指。坐标的正向为手指的指向，如果我们想像一个右手方向旋转的螺杆，由轴向轴旋转会导致螺杆沿着轴的正向前进。同样可以轮流采用标记1、2和3来检验螺杆沿正方向前进的情况。正因为如此，图1.1所示的坐标系为右手坐标系。不是右

2、手坐标系的叫左手坐标系。如用左手，则图1.1中轴正向朝下。注意任何两个具有相同原点的右手坐标系，都可以将一个坐标系转到另一个坐标系上，使之重合。这也适用于左手坐标系，图1.1右手螺旋定则但不适用一左一右的情况。1.2矢量代数矢量既有大小又有方向，这与标量不同，标量只有大小。例如，速度是矢量，温度是标量。在坐标系中矢量通常用箭头表示，箭头的方向为矢量的方向，箭头的长度与矢量的大小成比例。图1.2中表示沿三个相互垂直轴方向的单位矢量、和。例如，单位矢量为单位长度（从原点量起）并沿轴，因而必须垂直另外两个坐标轴和。对空间中任意一点P，坐标是、和，可以表示为矢量OP或V。这个矢量

3、V可以想像为矢量、和的组合，故有=++(1.1)或根据单位矢量得V=++（1.2）其中，、和为标量值。进一步简化，上式课简写为=（）（1.3）显然这个形式中3个标量的排序时至关重要的。可以看出矢量的标记形式上采用了P点的笛卡尔坐标表示。图1.2右手笛卡尔坐标系中的位置与单位矢量通常认为，、和作为的分量，或反过来，将矢量分解成分量。矢量作用的特定点常常可以从上下文中得知，不需要特别指明，图1.2中矢量恰好作用在坐标原点。若两个矢量和U的分量相等，则定义他们相等，相等的条件为=，=，=（1.4）或紧凑地表示为=，i=1,2,3（1.5）通常，跟简洁地将相等表示为=（1.6）由

4、于下标i没有特别指明，可以认为它代表了三种可能下标中任一个。如果矢量乘以一个正的标量а，则结果а定义为一个新的矢量，方向与同向，大小为的а倍。如果а为负值，则负号表示相反的方向。由平行四边形法则得到两个矢量U与之和的定义，如图1.3所示。显然，矢量的加减可以定义为其分量的加减。W=U=（）+（）+（）（1.7a）根据这些分量，有（，，）=（，，）（1.7b）或采用=（1.8）图1.3矢量相加1.3字母指标记法与求和约定标量：只有大小，没有方向的量矢量：既有大小又有方向的量张量：具有多重方向性，更为复杂的物理量字母指标记法：即将一物理量的所有分量用一个字母表示，并用指标区别

5、不同的分量。例如，一个矢量V可以表示如下：V=（v1,v2,v3）=vi其中i=1,2,3Einsten求和约定：即一个指标在表达式某一项中重复出现两次，则该指标要取完指标域中所有值，然后将各项加起来，该重复出现的指标称为哑标。只出现一次的指标称为自由指标。例如：其中说明哑标不区分分量，只是求和，故可以更换符号。双重求和：三重求和：*注意：指标在表达式某一项中出现三次以上，则为违约，须保留求和符号∑，如中的∑须保留。*规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方画横线或用文字进行说明（如：i不表示求和）。1.4Kronecher符号定义δij为：δij的矩阵形式为：可知，δ符

6、号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：δij的作用：1、更换指标；2、选择求和。1.5排列符号eijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。由上定义可得在三维空间中有：即故混合积：三阶行列式的展开：常见恒等式：(1)(2)(3)1.6坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为，新坐标系的基矢为。有在下进行分解：在下进行分解：其中，为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径其中为上图中坐标原点的位移矢量。将向新坐标轴上投影的矢量的分量：由此得新坐标用老坐标表示的公式：类似地，将向老坐

7、标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时，上两式的矩阵形式为：由上可知，，是正交矩阵，则。综合以上可知：同理，可推出将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，，其中为常数，称为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化。即：1.7张量的分量坐标转换规律1.7.1一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为：，其中，则，得到同理，，得矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张