张量分析及其应用.ppt

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1、张量分析及其应用第一章张量代数第二章张量分析第三章张量应用1.1指标记法1.1.1求和约定、哑指标第一章张量代数显然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。于是是违约的，求和时要保留求和号n表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题双重求和简写成展开式（9项）三重求和（27项）1.1.2自由指标例如指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自

2、由指标每次可取整数1,3,…,n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：i为自由指标，j为哑标表示i为自由指标，j为哑标表示i，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：……例外：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里i相当于一个自由指标，而i只是在数值上等于i，并不与i求和。又如，方程用指标法表示，可写成i不参与求和，只在数值上等于i1.2Kronecker符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker符号定义为：其中i，j为自由指标，取遍1，

3、2，3；因此，可确定一单位矩阵：若是相互垂直的单位矢量，则，但而，故注意：是一个数值，即的作用：1）换指标；2）选择求和。例1：思路：把要被替换的指标i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k表示例2：例3：个数，项的和。求特别地，1.3置换符号i,j,k,为1，2，3的偶排列i,j,k,为1，2，3的奇排列i,j,k,不是1，2，3的排列例如：可见：也称为三维空间的排列符号。若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量则常见的恒等式(i)(ii)(iii)(iv)证明：令即得（i），将（i）作相应的指标替换，

4、展开化简，将得其余三式。指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零二维置换符号其中从三维退化得到有下列恒等式关键公式：二维关键公式：1.4指标记法的运算1.4.1代入设(1)(2)把（2）代入（1）mnorelse3个方程，右边为9项之和1.4指标记法的运算1.4.2乘积设则不符合求和约定1.4指标记法的运算1.4.3因式分解考虑第一步用表示有换指标的作用所以即1.4指标记法的运算1.4.4缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变

5、关系缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法或1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：写出其普通记法1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法1.5张量的定义1.5.1坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系）旧坐标系：新旧基矢量

6、夹角的方向余弦：单位基矢量：新坐标系：单位基矢量：1.5.1坐标系的变换关系旧新图解（二维）：在解析式中记：1.5.1坐标系的变换关系从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量（对i求和，i’为自由指标）1.5.2标量（纯量Scalar）在坐标变换时其值保持不变，即满足如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量？1.5.3矢量（Vector）设a为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即（对i’求和）（对i求和）满足以下变换关系的三个量定义一个矢量1.5.3矢量（Vector）哑标换成k比较上式两边，

7、得即该变换是正交的1.5.4张量（Tensor）对于直角坐标系，有九个量按照关系变换成中的九个量则此九个量定义一个二阶张量。将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数）1.6张量的分量设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即称为二阶张量T的分量令可理解为矢量T·ej在ei上的分量，即因此，有下面三种等价的表达式：其中称为在基矢量组{e1,e2,e3}下二阶张量T的矩阵。注意：矢量a、b及张量T本身与坐标系无关，但其分量ai

8、,bi,Tij通过基矢量组{e1,e2,e3}与坐标系相关。1.7.1张量的加法和减法设T、S均为二阶张量，将它们的和、差用下式表示：仍为二阶张量。若a为一矢量，则其分量为：其矩阵形式为：1.7.2张量和标量的乘积设T为二阶张量，为一标量，它们的乘积记为，则仍为二阶张量。因为根据坐标变换，有可见，为二阶张量。1.7.3并矢积、并矢记法、基张量矢量a和矢量b的并矢积ab定义为按下列规则变