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1、张量分析及其应用第一章张量代数第二章张量分析第三章张量应用1.1指标记法1.1.1求和约定、哑指标第一章张量代数显然,指标i,j,k与求和无关,可用任意字母代替。为简化表达式,引入Einstein求和约定:每逢某个指标在一项中重复一次,就表示对该指标求和,指标取遍正数1,2,…,n。这样重复的指标称为哑标。于是是违约的,求和时要保留求和号n表示空间的维数,以后无特别说明,我们总取n=3。例题双重求和简写成展开式(9项)三重求和(27项)1.1.2自由指标例如指标i在方程的各项中只出现一次,称之为自由指标。一个自
2、由指标每次可取整数1,3,…,n,与哑标一样,无特别说明总取n=3。于是,上式表示3个方程的缩写:i为自由指标,j为哑标表示i为自由指标,j为哑标表示i,j为自由指标,k为哑标表示9个方程:……例外:出现双重指标但不求和时,在指标下方加划线以示区别,或用文字说明(如i不求和)。规定:这里i相当于一个自由指标,而i只是在数值上等于i,并不与i求和。又如,方程用指标法表示,可写成i不参与求和,只在数值上等于i1.2Kronecker符号在卡氏直角坐标系下,Kronecker符号定义为:其中i,j为自由指标,取遍1,
3、2,3;因此,可确定一单位矩阵:若是相互垂直的单位矢量,则,但而,故注意:是一个数值,即的作用:1)换指标;2)选择求和。例1:思路:把要被替换的指标i变成哑标,哑标能用任意字母,因此可用变换后的字母k表示例2:例3:个数,项的和。求特别地,1.3置换符号i,j,k,为1,2,3的偶排列i,j,k,为1,2,3的奇排列i,j,k,不是1,2,3的排列例如:可见:也称为三维空间的排列符号。若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量则常见的恒等式(i)(ii)(iii)(iv)证明:令即得(i),将(i)作相应的指标替换,
4、展开化简,将得其余三式。指标任意排列,经过行列调整总可用右边表示,两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零二维置换符号其中从三维退化得到有下列恒等式关键公式:二维关键公式:1.4指标记法的运算1.4.1代入设(1)(2)把(2)代入(1)mnorelse3个方程,右边为9项之和1.4指标记法的运算1.4.2乘积设则不符合求和约定1.4指标记法的运算1.4.3因式分解考虑第一步用表示有换指标的作用所以即1.4指标记法的运算1.4.4缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变
5、关系缩并哑标与求和无关,可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程:其普通记法或1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程:写出其普通记法1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程:写出其指标记法1.5张量的定义1.5.1坐标系的变换关系(卡氏右手直角坐标系)旧坐标系:新旧基矢量
6、夹角的方向余弦:单位基矢量:新坐标系:单位基矢量:1.5.1坐标系的变换关系旧新图解(二维):在解析式中记:1.5.1坐标系的变换关系从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量(对i求和,i’为自由指标)1.5.2标量(纯量Scalar)在坐标变换时其值保持不变,即满足如数学中的纯数,物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量?1.5.3矢量(Vector)设a为任意矢量,其在新、旧坐标系下的分量分别为即(对i’求和)(对i求和)满足以下变换关系的三个量定义一个矢量1.5.3矢量(Vector)哑标换成k比较上式两边,
7、得即该变换是正交的1.5.4张量(Tensor)对于直角坐标系,有九个量按照关系变换成中的九个量则此九个量定义一个二阶张量。将矢量定义加以推广:(增加指标和相应的变换系数)1.6张量的分量设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量,a为任一矢量,其分量为ai,于是对于一个二阶张量T,它可以将a变换成另一个矢量b,即称为二阶张量T的分量令可理解为矢量T·ej在ei上的分量,即因此,有下面三种等价的表达式:其中称为在基矢量组{e1,e2,e3}下二阶张量T的矩阵。注意:矢量a、b及张量T本身与坐标系无关,但其分量ai
8、,bi,Tij通过基矢量组{e1,e2,e3}与坐标系相关。1.7.1张量的加法和减法设T、S均为二阶张量,将它们的和、差用下式表示:仍为二阶张量。若a为一矢量,则其分量为:其矩阵形式为:1.7.2张量和标量的乘积设T为二阶张量,为一标量,它们的乘积记为,则仍为二阶张量。因为根据坐标变换,有可见,为二阶张量。1.7.3并矢积、并矢记法、基张量矢量a和矢量b的并矢积ab定义为按下列规则变