张量分析(邵爽).ppt

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1、张量分析主要内容1基矢张量正交变换2二阶张量及其若干基本运算法则2021/7/2721基矢张量正交变换1.1字母标号1.2求和标号求和约定1.3自由标号1.4克罗内克尔代尔塔ij1.5排列(置换)符号1.6余弦变换矩阵2021/7/2731.7一阶基矢及其坐标变换1.8一阶张量——不变量1.9二阶基矢及其坐标变换1.10二阶张量——不变量1.11张量的记法1基矢张量正交变换(续)2021/7/2741.1字母标号为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量用同一个字母表示，并用标号(指标)区别其中的各个分量。例

2、如将x,y,z写成x1,x2,x3,用xi(i=1,2,3)表示；用表示；位移ui；应力ij；应变ij；2021/7/275在同一项中，重复出现两次的字母标号，称为求和标号，它表示将该标号依次取为1,2,3时所得的各项之和，这就是求和约定。例如求和标号又称“哑标”或“伪标”。1.2求和标号求和约定2021/7/276求和标号已不是用以区分该标号所表示的各个分量，而是一种约定的求和标志，因此可选用任何字母而不会改变其含义；亦即求和标号可任意变换字母，如2021/7/277如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约定，如(求和约定)其中(不求和)

3、另外应写成，不能写作，因为后者的标号重复了4次。两矢量的点乘积应写成2021/7/278同一项内不重复出现的标号，叫做自由标号。可取1,2,3。如ij表任一个应力分量。同一方程中，各项自由标号应相同，而且应理解(约定)为该方程对自由标号的约定域均成立。如ai=bijcj为下列方程的缩写1.3自由标号2021/7/279下列方程组同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时改变。2021/7/2710ij表九个量，并规定克罗内克尔代尔塔(Kronecker)。它与另一个带字母的量(包括自身)相乘时，将该量

4、中的求和标号丢掉而用ij中的另一标号代入。因此1.4克罗内克尔代尔塔ij2021/7/2711①(a)(b)(c)(c)式可用于改变标号的字母，如2021/7/2712②因为aii=ajj=ajkjk，则③对于点的坐标xi有④有如下关系上式亦可作为ij的定义。(d)(e)(f)2021/7/2713⑤设为笛卡尔坐标系的基矢，为该坐标系转动后的基矢，令(g)为和夹角的余弦；则可证明2021/7/27141.5排列(置换)符号①排列(置换)符号的定义当i,j,k按1,2,3顺序时(顺循环)eijk有27个量，其中6个不为零。其标号中，每相邻两个互换

5、一次位置，改变一次正负号。位置变换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次，它将改变正负号。如当i,j,k按3,2,1顺序时(逆循环)当i,j,k有重复标号时(非循环)2021/7/2715根据叉积的定义，有当i,j,k为顺循环当i,j,k为逆循环当i,j,k为非循环2021/7/2716易证上式亦可作为eijk的定义。2021/7/2717②eijk–ij恒等式根据行列式的运算法则，可得注意，上面第一式中行序号为顺循环，第二式中列序号为顺循环。因此当原行列式中的行或列任意调换位置时，所得新行列式值为(按行展开，共六项)(按列展开，共六项)或2021

6、/7/2718或因为，据则有2021/7/2719上式行列式中，列序号为顺循环；若将其中的列任意变换位置，所得到的新行列式为由此可得eijk和ij的关系为2021/7/2720当i=r时，得到由上式又可得2021/7/2721联立求解或得2021/7/27221.6余弦变换矩阵设及分别为笛卡尔系，则为与间的夹角。表为“定义为”；共九个分量。于是有2021/7/2723若将排成矩阵，称为余弦变换矩阵；而据上式应有因为，则有(板书演示)或根据，可见2021/7/2724余弦变换矩阵为正交矩阵。故这种余弦变换又称正交变换。又2021/7/2725当时

7、，称为正常(或正向)正交矩阵；当时，称为非正常(或负向)正交矩阵。[Q1]和[Q2]均为正交矩阵，并设[Q]=[Q1]·[Q2]，则正交矩阵之积仍为正交矩阵。2021/7/27261.7一阶基矢及其坐标变换A.笛卡尔坐标系的基矢笛卡尔坐标系内点的坐标xi，其基矢为。当坐标为固定坐标系时，是不因xi和时间而改变的矢量，且。笛卡尔坐标系内点的位置矢为于是2021/7/2727可将上式作为坐标系基矢的定义。基矢乃是与坐标线相切并指向坐标线正向的矢量。显然，笛卡尔坐标系的基矢为没有量纲的单位矢量。2021/7/2728B.正交曲线坐标系的基矢设i表曲线坐标

8、，在曲线坐标系内，点的位置矢为于是，曲线坐标的基矢为不一定是单位矢量，同时因i的量纲不一定是