《张量分析简介》PPT课件.ppt

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1、张量分析简介引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分AppendixA张量基本概念标量（零阶张量）例如：质量，温度质量密度应变能密度等等。其值与坐标系选取无关。张量基本概念矢量（一阶张量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。矢量（一阶张量）矢量u在笛卡尔坐标系中分解为其中u1,u2,u3是u的三个分量，e1,e2,e3是单位基矢量。张量基本概念矢量（一阶张量）既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；遵从相应的矢量运算规则。张量基本概

2、念张量基本概念张量（高阶）例如：一点的应力状态要用应力张量表示，它是具有二重方向性的二阶张量，张量的各个分量值与截面法线方向和应力分解方向有关。具有多重方向性的更复杂的物理量。矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：u分解式记法：分量记法：AppendixA.1张量基本概念AppendixA.1张量基本概念指标符号用法三维空间中任意点P的坐标（x,y,z）可缩写成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：求和约定如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。张量基本概念由

3、于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标i仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：只要指标j或m在同项内仅出现两次，且取值范围和i相同。张量基本概念约定：如果不标明取值范围，则拉丁指标i,j,k,…表示三维指标，取值1,2,3；希腊指标,,,…均为二维指标，取值1,2。张量基本概念拉丁指标希腊指标张量基本概念二阶张量应变，应力，速度梯度等。三阶张量压电张量，等。四阶张量弹性张量，等。张量基本概念二阶（或高阶）张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；低阶张量的梯度；低阶张量的并积；更高阶张量的缩并，等。张量基本概念应力张量张量基本概念张量的三种记法：实

4、体记法：分解式记法：分量记法：张量基本概念张量基本概念求和约定采用指标符号后，线性变换表示为利用求和约定，写成：其中j是哑指标，i是自由指标。张量基本概念在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：若i为自由指标★张量基本概念自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。例如：表达式在自由指标i取1，2，3时该式始终成立，即有张量基本概念★同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。i换成k★★张量基本概念指标符号也适用于微分

5、和导数表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系可简写成：场函数f(x1,x2,x3)的全微分：★张量基本概念22可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。例如：若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：★★张量基本概念23一般说不能由等式两边消去ai导得但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。★张量基本概念24小结通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方程代表了nk个分量方程。在方程

6、的某项中若同时出现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。张量基本概念25目录AppendixA引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分26符号ij与erstij符号(Kroneckerdelta)定义(笛卡尔坐标系)(i,j=1,2,…,n)特性1.对称性，由定义可知指标i和j是对称的，即273.换标符号，具有换标作用。例如：2.ij的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因

7、子的那个重指标换成的另一个指标，而自动消失。符号ij与erst28类似地有符号ij与erst29erst符号(排列符号或置换符号，Eddington)定义(笛卡尔坐标系)当r,s,t为正序排列时当r,s,t为逆序排列时当r,s,t中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。或符号ij与e