应力状态与应力张量.pdf

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1、一一点的应力状态与应力张量二主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P点处应力状态在直角坐标系可表示为⎡σττ⎤xxyxz⎢⎥S=σ=τστij⎢yxyyz⎥⎢ττσ⎥⎣zxzyz⎦如图1-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有τ=τ，τ=τ，τ=τ。xzzxxyyxyzzy已知物体内某点P的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的

2、应力。在P点处取出一无限小四面体oabc(图1-2)它的三个面分别与x,y,z三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N，其方向余弦为l,m,n。分别以dF、dF、dF、dF代表abc、obc、oac、oab三角形面积。xyzdF=ldF⎫x⎪dF=mdF⎬（1.2）y⎪dF=ndF⎭z在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc上有合应力P,它可分解为正应力N222σ及切向剪应力τ，即P=σ+τNNNNNP沿坐标轴方向分量为x,y，z，由平衡条件可得NNNNx=σl+τm+τn⎫Nxxyxz⎪y=τl+σm+τn⎬Nyxyyz

3、⎪z=τl+τm+σnNzxzyz⎭求出x，y，z在法线上的投影之和，即得正应力σNNNN222σ=xl+ym+zn=σl+σm+σn+2τlm+2τmn+2τnl1-5NNNNxyzxyyzzx222而剪应力则由式1-5得τ=P-σNNN在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。在垂直主方向的面上，τ=0，σ即为主应力，等于合应力P，而主应力在坐标轴上的分量为NNNx=σl⎫NN⎪y=σm⎬1-7NN⎪z=σn⎭NN将式1-7代入1-4整理后得(σ−σ)l+τm+τn=0⎫xNyxzx⎪τl+(σ−σ)m+τn=0⎬（1

4、-8）xyyNzy⎪τl+τm+(σ−σ)n=0xzyzzN⎭222此外，法线N的三个方向余弦应满足l+m+n=1（1-9）由上面四个方程可求得σ及方向余弦l,m,n。如果将l,m,n看作未知量，则由式1-9可见，l,m.nN不能同时为零。因此线性方程组式1-8非零解的充要条件为系数行列式等于零。σ−σττxNyxzxτσ−στ=0xyyNzyττσ−σxzyzzN22展开行列式得到σ−Iσ−Iσ−I=01-11N1N2N3I=σ+σ+σ⎫1xyzI⎪222⎪式中I=−σσ−σσ−σσ+τ+τ+τ⎬1-122xyyzzxxyyzzx22

5、2⎪I=σσσ+2τττ−στ−στ−στ⎪3xyzxyyzzxxyzyzxzyzI⎭方程1-11有三个实根，即三个主应力。按三个主应力数值，分别由式1-8求出三个主方向。当坐标方向改变时，应力分量均将改变，但主应力的数值是不变的，因此该式的关系也不变。由于系数III,,与坐标无关，故称作应力张量不变量，通常分别叫作应力张量第一不123变量，第二不变量，第三不变量。设三个正应力的平均值为平均应力，用σ表示m11σ=(σ+σ+σ)=(σ+σ+σ)mxyz12333于是σ=σ+(σ−σ)xmxmσ=σ+(σ−σ)ymymσ=σ+(σ−σ)z

6、mzm由此，应力张量可分解为两个分量⎡σ00⎤⎡σσ-ττ⎤mxmxyxz⎢⎥⎢⎥σ=0σ0+τσ−στij⎢m⎥⎢yxymyz⎥⎢00σ⎥⎢ττσ−σ⎥⎣m⎦⎣zxzyzm⎦等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。⎡σm00⎤⎢⎥0σ0=σδ⎢m⎥mij⎢⎣00σ⎥⎦m式中δ定义为ij1当（i=j）δ={ij0当（ij≠）令S=σσ-，S=σσ-，S=σσ-，S=τ，S=τ，S=τ……，则应xxmyymzzmxyxyyxyxyzyz力偏量S即为ij⎡SSS⎤⎡Sττ⎤xxyxzxxyxz⎢⎥⎢⎥S=σσδ-=SSS

7、=τSτijijmij⎢yxyyz⎥⎢xzyyz⎥⎢SSS⎥⎢ττS⎥⎣zxzyz⎦⎣zxzyz⎦三应力空间如果我们将σ、σ、σ取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，则123该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说。该空间中的一点对应于物体某点的应力状态。我们就把这个空间称为应力空间。如图2-6所示，P点的坐标为（σσσ），这个应力状态可写为三个矢量OP(σ),OP(σ),OP(σ)123112233的矢量和。四应力圆和Lode参数在传统塑性理论中，认为应力张量不影响屈服，所以对应力偏

8、量特别感兴趣，而洛德（Lode）参数或洛德角是应力偏量的特征量。此外，采用洛德参数或洛德角研究塑性问题十分方便，因而在岩土塑性理论中应用极为广泛。设横坐标为正应力σ，纵坐标为剪应力τ，设已知应力σ，σ，σ，